Całka nieoznaczona: definicja, wzory i metody całkowania

Definicja: funkcja pierwotna i stała całkowania

Funkcja pierwotna funkcji f to taka funkcja F, której pochodna F′ jest równa f. Jeżeli f jest określona i ciągła na przedziale, a F jest jej funkcją pierwotną, to każda inna funkcja pierwotna różni się od F o stałą. Zbiór wszystkich takich funkcji nazywa się całką nieoznaczoną i zapisuje:

∫ f(x) dx = F(x) + C, gdzie F′(x) = f(x).

Funkcję f nazywa się funkcją podcałkową, a x zmienną całkowania. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, dlatego każdy wynik możesz sprawdzić, różniczkując go: pochodna wyniku musi dać funkcję podcałkową. Symbol całki (stylizowana litera S od łacińskiego „summa”) wprowadził Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku.

Każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną, ale nie zawsze da się ją zapisać za pomocą funkcji elementarnych. Takim przypadkiem są całki z e do potęgi minus x kwadrat czy z sin x podzielonego przez x: istnieją, ale nie mają wzoru elementarnego.

Tabela całek podstawowych

Poniższe wzory wynikają z odpowiednich wzorów na pochodne. Każdy z nich sprawdzono przez zróżniczkowanie wyniku (obliczenia w Pythonie z biblioteką SymPy). Wszędzie dopisz + C; w tabeli pominięto je dla czytelności.

Dla n = −1 wzór na potęgę nie działa, bo w mianowniku byłoby zero; wtedy całką jest ln|x|. Wzory z tabeli obowiązują na przedziałach zawartych w dziedzinie funkcji podcałkowej: całkę z 1/x liczysz osobno na (−∞, 0) i na (0, ∞), a całkę z 1/cos² x na przedziale, na którym cos x ≠ 0. Stała C może się różnić między takimi przedziałami.

Liniowość całki

Całka z sumy jest sumą całek, a stały współczynnik wyłączasz przed znak całki:

• ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx,
• ∫ a · f(x) dx = a · ∫ f(x) dx.

Całki z iloczynu ani z ilorazu funkcji nie rozbijasz na iloczyn lub iloraz całek.

Przykład 1. ∫ (3x² − 4x + 5) dx = 3 · x³/3 − 4 · x²/2 + 5x + C = x³ − 2x² + 5x + C. Pochodna wyniku to 3x² − 4x + 5, więc zgadza się z funkcją podcałkową.

Całkowanie przez podstawienie

Metoda polega na wprowadzeniu nowej zmiennej t = g(x), tak aby funkcja podcałkowa przyjęła prostszą postać. Gdy w całce widzisz funkcję złożoną i jej pochodną (z dokładnością do stałej), podstawienie zwykle się opłaca. Przydatna jest też reguła: jeśli ∫ f(x) dx = F(x) + C, to ∫ f(ax + b) dx = (1/a) · F(ax + b) + C dla a ≠ 0.

Przykład 2. ∫ 2x (x² + 1)⁵ dx. Podstawiasz t = x² + 1, więc dt = 2x dx. Całka przechodzi w ∫ t⁵ dt = t⁶/6 + C, a po powrocie do x:

(x² + 1)⁶ / 6 + C.

Przykład 3. ∫ cos x · e^(sin x) dx. Podstawiasz t = sin x, dt = cos x dx, więc ∫ eᵗ dt = eᵗ + C = e^(sin x) + C.

Przykład 4. ∫ 1/(2x + 3) dx = (1/2) · ln|2x + 3| + C, z reguły dla funkcji f(ax + b) przy a = 2 i b = 3.

Całkowanie przez części

Wzór wynika z pochodnej iloczynu:

∫ f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x) − ∫ f′(x) · g(x) dx.

Zamieniasz całkę z iloczynu na całkę z pokrewnego iloczynu, w którym jeden czynnik został zróżniczkowany, a drugi scałkowany. Stałą C dopisujesz dopiero na końcu, gdy w wyniku nie ma już całki nieoznaczonej.

Wskazówka doboru: jeśli jeden czynnik jest wielomianem, a drugi (eˣ, sin x, cos x) daje się wielokrotnie całkować bez komplikacji, różniczkuj wielomian. Przy logarytmie zwykle różniczkuje się logarytm.

Przykład 5. ∫ x · eˣ dx. Przyjmij f = x oraz g′ = eˣ, więc f′ = 1 i g = eˣ. Wtedy ∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = (x − 1) eˣ + C.

Przykład 6. ∫ x · cos x dx. Przyjmij f = x, g′ = cos x, więc g = sin x. Wtedy ∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.

Przykład 7. ∫ ln x dx. Zapisz ln x jako 1 · ln x i przyjmij f = ln x, g′ = 1, więc f′ = 1/x i g = x. Wtedy ∫ ln x dx = x ln x − ∫ 1 dx = x ln x − x + C.

Gdy trzeba, całkowanie przez części stosujesz wielokrotnie: ∫ x² eˣ dx = (x² − 2x + 2) eˣ + C wymaga dwóch kroków.

Sprawdzenie wyniku

Sprawdzanie przez różniczkowanie jest pewne. W SymPy porównujesz pochodną wyniku z funkcją podcałkową, na przykład dla wyniku z przykładu 5:

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols("x")
F = (x - 1) * exp(x)
print(simplify(diff(F, x) - x * exp(x)))  # 0

Wynik 0 oznacza, że (x − 1)eˣ jest funkcją pierwotną funkcji x·eˣ. Wszystkie przykłady 1–7 sprawdzono w ten sposób.

Najczęstsze błędy

Zobacz też: Granica funkcji.