Pochodna funkcji: definicja, wzory i interpretacja

Definicja pochodnej

Weź funkcję f i punkt x₀. Iloraz różnicowy to wyrażenie

(f(x₀ + h) − f(x₀)) / h

Mówi ono, o ile średnio zmienia się wartość funkcji na jednostkę zmiany argumentu, gdy przesuwasz się z x₀ do x₀ + h. Pochodną f′(x₀) nazywasz granicę tego ilorazu, gdy h zmierza do zera, o ile ta granica istnieje. Według encyklopedii pochodna to granica ilorazu różnicowego dla zerowego mianownika, a sam iloraz jest funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.

Przykład 1: pochodna x² w punkcie 2

Dla f(x) = x² i x₀ = 2:

((2 + h)² − 4) / h = (4h + h²) / h = 4 + h

Gdy h zmierza do zera, wynik zmierza do 4, więc f′(2) = 4. Te same wartości dają się sprawdzić obliczeniem (Python 3.13):

Im mniejsze h, tym bliżej 4. Pomiar na komputerze daje drobne różnice w dalekich miejscach po przecinku, bo liczby zmiennoprzecinkowe są przybliżone.

Interpretacja geometryczna: styczna

Prosta przechodząca przez dwa punkty wykresu to sieczna, a jej współczynnik kierunkowy równa się ilorazowi różnicowemu. Gdy drugi punkt zbliża się do pierwszego (h → 0), sieczne zbliżają się do jednej prostej: stycznej. Według encyklopedii styczna jest prostą będącą granicą siecznych do krzywej. Wniosek:

Pochodna f′(x₀) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie (x₀, f(x₀)).

Karta wzorów CKE na maturę od 2023 roku podaje równanie stycznej w postaci

y = a(x − x₀) + f(x₀), gdzie a = f′(x₀)

i zakłada, że funkcja ma pochodną w punkcie x₀.

Przykład 2: styczna do paraboli

Znajdź styczną do wykresu f(x) = x² w punkcie x₀ = 2. Wiemy, że f′(2) = 4 i f(2) = 4. Stąd:

y = 4(x − 2) + 4 = 4x − 4

Styczna ma więc równanie y = 4x − 4. Sprawdzenie: w punkcie x = 2 daje y = 4, czyli przechodzi przez punkt (2, 4) wykresu.

Pochodne podstawowych funkcji

Tabela zawiera funkcje z karty wzorów CKE (formuła 2023) z jej oznaczeniami: a, b, c, r to dowolne liczby rzeczywiste.

Zastrzeżenia przy dziedzinie (x ≠ 0, x > 0) to uzupełnienie: pochodną liczysz tylko tam, gdzie funkcja jest określona i różniczkowalna.

Reguły różniczkowania

Karta CKE zawiera reguły dla sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu oraz funkcji złożonej. Przyjmij, że f i g mają pochodne.

Przykłady własne

Iloczyn. Dla h(x) = x² · sin x: h′(x) = 2x · sin x + x² · cos x.

Iloraz. Dla k(x) = x / (x + 1), x ≠ −1: k′(x) = (1 · (x + 1) − x · 1) / (x + 1)² = 1 / (x + 1)².

Złożenie. Dla p(x) = (3x + 1)⁵ funkcją zewnętrzną jest u⁵, wewnętrzną 3x + 1: p′(x) = 5 · (3x + 1)⁴ · 3 = 15 · (3x + 1)⁴.

Wyniki sprawdzono liczbowo w Pythonie, porównując wzór z różnicą symetryczną z h = 10⁻⁶. W punkcie x = 1 dla h(x) wzór i obliczenie dają 2,2232…, w punkcie x = 2 dla k(x) wartość 1/9 ≈ 0,1111, a w punkcie x = 0 dla p(x) wartość 15.

Monotoniczność i ekstrema

Znak pochodnej wskazuje kierunek zmian funkcji. Encyklopedia wiąże to z twierdzeniem Lagrange’a: jeśli pochodna jest dodatnia na przedziale, funkcja na nim rośnie, a jeśli ujemna, maleje. Miejsca zerowe pochodnej dzielą dziedzinę na przedziały, w których pochodna jest stale dodatnia lub stale ujemna, więc są punktami kluczowymi badania funkcji.

Ekstremum lokalne (minimum lub maksimum) występuje tam, gdzie pochodna jest równa zero i zmienia znak:

• z plusa na minus: maksimum lokalne,
• z minusa na plus: minimum lokalne.

Samo f′(x₀) = 0 nie wystarcza. Dla f(x) = x³ pochodna 3x² ma zero w x = 0, ale nie zmienia tam znaku, więc ekstremum nie ma.

Przykład 3: ekstrema funkcji x³ − 3x

Dla f(x) = x³ − 3x pochodna to f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Miejsca zerowe: x = −1 i x = 1.

W x = −1 znak zmienia się z plusa na minus: maksimum lokalne f(−1) = 2. W x = 1 z minusa na plus: minimum lokalne f(1) = −2. Wartości f(−2) = −2, f(0) = 0 i f(2) = 2 potwierdzają ten układ.

Najczęstsze błędy

• Pochodna iloczynu to nie iloczyn pochodnych. Zastosuj regułę iloczynu.
• W regule złożenia łatwo zapomnieć o czynniku f′(x), czyli pochodnej funkcji wewnętrznej.
• Zero pochodnej nie oznacza jeszcze ekstremum; sprawdź zmianę znaku.
• Pochodną ilorazu licz z licznikiem f′g − fg′, w tej kolejności; zamiana daje przeciwny znak.

Zobacz też: Całka nieoznaczona.