Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Weź trójkąt prostokątny i wybierz jeden z jego kątów ostrych, oznaczony α. Boki nazywasz względem tego kąta:
- przeciwprostokątna (c) leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem,
- przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α (a),
- przyprostokątna przyległa do kąta α (b).
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego to stosunki długości dwóch z tych boków:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Funkcja | Skrót | Wzór | Słownie |
|---|---|---|---|
| sinus | sin α | a / c | naprzeciwległa ÷ przeciwprostokątna |
| cosinus | cos α | b / c | przyległa ÷ przeciwprostokątna |
| tangens | tg α | a / b | naprzeciwległa ÷ przyległa |
Wartości zależą tylko od kąta, a nie od wielkości trójkąta. Dwa trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne, więc stosunki ich boków są takie same. Właśnie dlatego sinus czy tangens można zapisać w tablicy jako liczbę przypisaną do kąta.
Ponieważ w trójkącie prostokątnym przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej, dla kąta ostrego sinus i cosinus mieszczą się między 0 a 1. Tangens może być dowolną liczbą dodatnią.
Przykład 1: trójkąt o bokach 3, 4 i 5
Trójkąt o bokach 3, 4 i 5 jest prostokątny, bo 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Niech α będzie kątem leżącym naprzeciw boku 3. Wtedy:
- sin α = 3/5 = 0,6,
- cos α = 4/5 = 0,8,
- tg α = 3/4 = 0,75.
Kąt α ma około 36,87°. Wartość tangensa zgadza się z ilorazem sinusa i cosinusa: 0,6 ÷ 0,8 = 0,75.
Przykład 2: wysokość drzewa
Stoisz 20 m od pnia drzewa i widzisz jego czubek pod kątem 35° nad poziomem oczu. Pozioma odległość to przyprostokątna przyległa, a szukana wysokość nad poziomem oczu to przyprostokątna naprzeciw kąta, więc użyj tangensa:
h = 20 · tg 35° ≈ 20 · 0,7002 ≈ 14,0 m.
Do wyniku dodaj jeszcze wysokość, na jakiej znajdują się twoje oczy.
Przykład 3: długość boku z sinusa
Rampa o długości 5 m jest nachylona pod kątem 10° do poziomu. Wysokość, na którą podnosi się jej koniec, to przyprostokątna naprzeciw kąta, a rampa jest przeciwprostokątną:
h = 5 · sin 10° ≈ 5 · 0,1736 ≈ 0,87 m.
Tabela wartości dla 30°, 45° i 60°
Trzy kąty pojawiają się w zadaniach najczęściej, a ich wartości wynikają z geometrii połowy trójkąta równobocznego (30° i 60°) i kwadratu przeciętego przekątną (45°). Warto je znać na pamięć.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Kąt α | sin α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 = 0,5 | √3/2 ≈ 0,8660 | √3/3 ≈ 0,5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,7071 | √2/2 ≈ 0,7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0,8660 | 1/2 = 0,5 | √3 ≈ 1,7321 |
Zauważ symetrię: sinus kąta 30° jest równy cosinusowi kąta 60° i odwrotnie. To nie przypadek, bo w trójkącie prostokątnym kąty ostre dopełniają się do 90°, a przyprostokątna leżąca naprzeciw jednego kąta jest przyległa do drugiego.
Jak zapamiętać sinusy: dla 30°, 45° i 60° mają one postać √1/2, √2/2 i √3/2 (przy czym √1 = 1), czyli 0,5; 0,7071; 0,8660. Cosinusy to te same liczby w odwrotnej kolejności. Tangens dostajesz, dzieląc sinus przez cosinus.
Wartości dla pozostałych kątów całkowitych (od 0° do 90°) podaje tablica wartości funkcji trygonometrycznych w karcie wzorów na egzamin maturalny, zaokrąglona do czterech miejsc po przecinku. Dla 30° tablica daje 0,5000; 0,8660; 0,5774, dla 45°: 0,7071; 0,7071; 1,0000, a dla 60°: 0,8660; 0,5000; 1,7321.
Funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym
Definicja z trójkąta działa tylko dla kątów ostrych. Żeby mówić o kątach 120° albo 210°, potrzebna jest definicja ogólniejsza.
Narysuj okrąg o promieniu 1 ze środkiem w początku układu współrzędnych. Kąt α odmierzaj od dodatniej półosi osi x, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ramię kąta wyznacza na okręgu punkt M(x, y). Wtedy:
- cos α = x (pierwsza współrzędna punktu),
- sin α = y (druga współrzędna punktu),
- tg α = y / x, o ile x ≠ 0.
Dla okręgu o dowolnym promieniu r wzory to sin α = y/r, cos α = x/r i tg α = y/x, gdzie r = √(x² + y²). Dla r = 1 upraszczają się do powyższych. Dla kąta ostrego prowadzi to do tych samych wartości co definicja z trójkąta, bo odcinek od środka do punktu M jest przeciwprostokątną o długości 1, a x i y są przyprostokątnymi.
Z takiej definicji wynika kilka ważnych faktów:
- sinus i cosinus przyjmują wartości od −1 do 1, bo współrzędne punktu na okręgu o promieniu 1 nie wychodzą poza ten przedział,
- tangens nie istnieje dla 90° i 270°, gdy x = 0, a dzielenie przez zero jest niedozwolone,
- po pełnym obrocie o 360° wracasz do tego samego punktu, więc funkcje trygonometryczne się powtarzają (są okresowe; sinus i cosinus mają okres 360°, czyli 2π w mierze łukowej).
Znaki funkcji w ćwiartkach
Znak sinusa zależy od położenia punktu nad osią x lub pod nią, a znak cosinusa od położenia na prawo lub na lewo od osi y.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Ćwiartka | Zakres kąta | sin α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|---|
| I | od 0° do 90° | + | + | + |
| II | od 90° do 180° | + | − | − |
| III | od 180° do 270° | − | − | + |
| IV | od 270° do 360° | − | + | − |
Przykład 4: kąt 120°
Kąt 120° leży w II ćwiartce. Punkt na okręgu jednostkowym ma współrzędne (−1/2, √3/2), więc:
- sin 120° = √3/2 ≈ 0,8660,
- cos 120° = −1/2 = −0,5,
- tg 120° = −√3 ≈ −1,7321.
Sprawdź zgodność ze znakami z tabeli ćwiartek: w II ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne.
Związki między funkcjami
Dla każdego kąta zachodzą dwa podstawowe związki, które karta wzorów zapisuje wśród zależności między funkcjami tego samego kąta:
- sin² α + cos² α = 1 (jedynka trygonometryczna),
- tg α = sin α / cos α, dla cos α ≠ 0.
Pierwszy wynika z twierdzenia Pitagorasa zapisanego dla punktu na okręgu o promieniu 1: x² + y² = 1. Pozwala obliczyć cosinus, gdy znasz sinus. Przykład: jeśli sin α = 0,6 i α jest kątem ostrym, to cos² α = 1 − 0,36 = 0,64, więc cos α = 0,8, a tg α = 0,6 ÷ 0,8 = 0,75. To ten sam trójkąt 3, 4, 5 co w przykładzie 1.
Miara kąta: stopnie i radiany
W szkole średniej kąty podaje się w stopniach lub w mierze łukowej, czyli radianach. Pełny kąt to 360°, czyli 2π, a kąt półpełny 180° to π. Zamiana: kąt w radianach = kąt w stopniach · π / 180.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Stopnie | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Radiany | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
Przy obliczeniach na kalkulatorze sprawdź, czy ustawiony jest tryb DEG (stopnie), czy RAD (radiany). To jeden z częstszych powodów błędnych wyników.
Do czego służy trygonometria
Funkcje sinus i cosinus modelują zjawiska okresowe, takie jak drgania mechaniczne. Przydają się też do wyznaczania wysokości lub długości z odległości i kąta, jak w przykładach 2 i 3, oraz do rozkładania siły na składowe w fizyce.
Najczęstsze błędy
- Mylenie przyprostokątnej leżącej naprzeciw z przyległą. Zawsze zaczynaj od wskazania kąta, bo to on decyduje, która przyprostokątna jest która.
- Użycie wzorów z trójkąta w trójkącie, który nie jest prostokątny.
- Pominięcie znaku funkcji dla kątów rozwartych i większych.
- Kalkulator w złym trybie kąta (stopnie zamiast radianów lub odwrotnie).
- Zapisanie sin² α jako sin α², czyli podniesienie do kwadratu samego kąta zamiast wartości sinusa.
Zobacz też: Wzory redukcyjne.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Czym jest trygonometria w prostych słowach?
To nauka o zależnościach między kątami a długościami boków. W szerszym ujęciu to funkcje sinus, cosinus i tangens, które opisują te zależności oraz zjawiska okresowe.
Jak zapamiętać, który bok jest do sinusa, a który do cosinusa?
Sinus liczysz z przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta, cosinus z przyległej, a oba dzielisz przez przeciwprostokątną. Tangens to naprzeciwległa podzielona przez przyległą, czyli sinus podzielony przez cosinus.
Ile wynosi sin 30°, cos 45° i tg 60°?
sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2 ≈ 0,7071, tg 60° = √3 ≈ 1,7321.
Dlaczego tg 90° nie istnieje?
Dla kąta 90° punkt na okręgu jednostkowym ma współrzędne (0, 1), a tangens to y / x, czyli 1/0. Dzielenie przez zero nie jest określone.
Czy sinus może być większy od 1?
Nie. Sinus jest drugą współrzędną punktu na okręgu o promieniu 1, więc zawsze mieści się między −1 a 1. To samo dotyczy cosinusa. Tangens może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, o ile istnieje.
Czy muszę uczyć się tablicy wartości na pamięć?
Wystarczy znać wartości dla 30°, 45° i 60° (wraz z 0° i 90°), a pozostałe wartości odczytasz z tablicy wartości w karcie wzorów lub obliczysz kalkulatorem.