Twierdzenie Pitagorasa: wzór, dowód i zadania krok po kroku

Wzór i rysunek

Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty (90°). Dwa boki, które go tworzą, to przyprostokątne. Trzeci bok, leżący naprzeciw kąta prostego, to przeciwprostokątna.

        C
        |\
        | \
      b |  \  c   <- przeciwprostokątna
        |   \
        |____\
       A  a   B
   (kąt prosty przy wierzchołku A)

W tym zapisie wzór wygląda tak:

a² + b² = c²

Geometrycznie oznacza to, że jeśli na każdym boku zbudujesz kwadrat, to pole kwadratu na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów na przyprostokątnych. Twierdzenie wraz z twierdzeniem odwrotnym znajduje się w zestawie „Wybrane wzory matematyczne” na maturę z matematyki, w dziale o planimetrii.

Skąd się wzięło twierdzenie

Tradycyjnie przypisuje się je greckiemu matematykowi Pitagorasowi, żyjącemu w VI wieku p.n.e. Zależność była jednak znana przed nim, m.in. w Babilonii. Dlatego nazwa twierdzenia mówi więcej o tradycji niż o tym, kto pierwszy je odkrył.

Dowód z kwadratem

Weź cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c. Ułóż je w kwadrat o boku a + b tak, aby w środku powstał mniejszy, pochylony kwadrat o boku c.

Pole dużego kwadratu liczysz na dwa sposoby:

1. Jako kwadrat boku: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Jako sumę części: cztery trójkąty po ab/2 każdy, czyli razem 2ab, plus środkowy kwadrat c². Wychodzi 2ab + c².

Porównaj oba wyniki: a² + 2ab + b² = 2ab + c². Odejmij 2ab od obu stron i zostaje a² + b² = c². Tak wygląda dowód układanką, jeden z wielu znanych dowodów twierdzenia.

Trzy typy zadań

Typ 1: obliczanie przeciwprostokątnej

Zadanie. Przyprostokątne trójkąta mają 7 cm i 4 cm. Oblicz przeciwprostokątną.

1. Zapisz wzór: c² = a² + b².
2. Podstaw: c² = 7² + 4² = 49 + 16 = 65.
3. Wyciągnij pierwiastek: c = √65 ≈ 8,06 cm.

Wynik nie musi być liczbą całkowitą. Jeśli polecenie nie każe zaokrąglać, zostaw √65.

Typ 2: obliczanie przyprostokątnej

Zadanie. Przeciwprostokątna ma 17 dm, a jedna przyprostokątna 8 dm. Oblicz drugą przyprostokątną.

1. Przekształć wzór: b² = c² − a².
2. Podstaw: b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225.
3. Wyciągnij pierwiastek: b = 15 dm.

Najczęstszy błąd to dodawanie zamiast odejmowania. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, więc od jej kwadratu zawsze odejmujesz kwadrat drugiej przyprostokątnej.

Zadanie z życia. Drabina o długości 5 m stoi na ziemi 1,4 m od ściany. Na jakiej wysokości dotyka ściany? Drabina jest przeciwprostokątną, odległość od ściany jedną przyprostokątną, a wysokość drugą: h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, więc h = 4,8 m.

Typ 3: sprawdzanie, czy trójkąt jest prostokątny

Z twierdzenia odwrotnego wynika prosta procedura: podnieś boki do kwadratu i sprawdź, czy suma dwóch krótszych kwadratów równa się kwadratowi najdłuższego boku.

Trójkąt o bokach 9, 40, 41. Dwa krótsze boki: 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681. Najdłuższy: 41² = 1681. Wartości są równe, więc trójkąt jest prostokątny.

Trójkąt o bokach 6, 7, 9. 6² + 7² = 36 + 49 = 85, a 9² = 81. Wartości różnią się, więc trójkąt nie jest prostokątny.

Zawsze zaczynaj od najdłuższego boku jako kandydata na przeciwprostokątną. Jeśli podstawisz go w złe miejsce, wynik wyjdzie niepoprawnie, nawet gdy trójkąt jest prostokątny.

Trójki pitagorejskie

Trójka pitagorejska to trzy dodatnie liczby naturalne a, b, c spełniające a² + b² = c². Trójkąt o takich bokach jest prostokątny, a trójkąt o bokach 3, 4, 5 nazywa się trójkątem egipskim. Zapamiętanie kilku trójek przyspiesza liczenie, bo od razu znasz trzeci bok.

Jeśli (a, b, c) jest trójką pitagorejską, to także (da, db, dc) dla dowolnej całkowitej dodatniej d. Dlatego 6, 8, 10 to podwojona trójka 3, 4, 5, a 9, 12, 15 to potrojona. Nowe trójki możesz tworzyć ze wzorów: dla liczb całkowitych m > n wystarczy wziąć a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n². Dla m = 2 i n = 1 wychodzi 3, 4, 5; dla m = 3 i n = 2 wychodzi 5, 12, 13.

Typowe zastosowania

Zobacz też: Pole trójkąta, Pole koła, Objętość walca.