Wzór na pole trójkąta: wszystkie wzory z przykładami

Wzór podstawowy: podstawa i wysokość

P = ½ · a · h

Podstawą może być każdy z trzech boków, ale wysokość h musi być opuszczona na ten właśnie bok pod kątem prostym (to odcinek od przeciwległego wierzchołka do prostej zawierającej podstawę). W trójkącie rozwartokątnym wysokość może leżeć poza trójkątem, a wzór nadal działa. Każdy z trzech zapisów daje to samo pole: ½ · a · hₐ = ½ · b · h_b = ½ · c · h_c.

Przykład: podstawa a = 10 cm, wysokość h = 6 cm. P = ½ · 10 · 6 = 30 cm².

Wzór bierze się stąd, że dwa takie same trójkąty można złożyć w równoległobok o podstawie a i wysokości h, którego pole to a · h, więc pole jednego trójkąta jest dwa razy mniejsze.

Tabela wzorów na pole trójkąta

Poziomy: wzór z wysokością i wzór dla trójkąta prostokątnego są materiałem szkoły podstawowej, a wzór dla trójkąta równobocznego wynika z nich i z twierdzenia Pitagorasa. Wzór z sinusem należy już do trygonometrii szkoły średniej, a wzór Herona wykracza poza podstawę programową szkoły podstawowej, więc w podstawówce możesz te dwa wzory pominąć.

Wzór Herona: gdy znasz trzy boki

Wzór Herona pozwala obliczyć pole dowolnego trójkąta wyłącznie z długości boków. Najpierw policz p, czyli połowę obwodu: p = (a + b + c) : 2. Potem podstaw do wzoru P = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c)).

Przykład: boki 13, 14 i 15 cm. p = (13 + 14 + 15) : 2 = 21. Różnice: 21 − 13 = 8, 21 − 14 = 7, 21 − 15 = 6. P = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 cm².

Sprawdzenie innym wzorem: wysokość opuszczona na bok 14 wynosi 12 cm, więc P = ½ · 14 · 12 = 84 cm². Wyniki są zgodne.

Wzór ma sens tylko dla trzech długości, z których da się zbudować trójkąt, czyli gdy suma dwóch dowolnych boków jest większa od trzeciego.

Wzór z sinusem: dwa boki i kąt między nimi

Gdy znasz dwa boki a, b i kąt γ zawarty między nimi, pole to P = ½ · a · b · sin γ. Wartości sinusa dla kątów 30°, 45° i 60° znajdziesz w tablicach: sin 30° = 0,5, sin 45° ≈ 0,7071, sin 60° ≈ 0,8660.

Przykład: a = 8 cm, b = 5 cm, γ = 30°. P = ½ · 8 · 5 · 0,5 = 10 cm².

Dla γ = 90° jest sin γ = 1, więc wzór przechodzi we wzór dla trójkąta prostokątnego. To pokazuje, że wzory są ze sobą spójne.

Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest wysokością opuszczoną na drugą, więc pole to połowa iloczynu przyprostokątnych: P = ½ · a · b.

Przykład: przyprostokątne 6 cm i 8 cm. P = ½ · 6 · 8 = 24 cm². Przeciwprostokątna ma 10 cm (z twierdzenia Pitagorasa: 6² + 8² = 100). Tę samą powierzchnię da się policzyć z przeciwprostokątną jako podstawą: wysokość na nią wynosi 4,8 cm, więc P = ½ · 10 · 4,8 = 24 cm².

Nie mnóż przeciwprostokątnej przez przyprostokątną: wysokością względem przeciwprostokątnej nie jest żadna z przyprostokątnych.

Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym o boku a wysokość wynosi h = a√3 : 2. Po wstawieniu do wzoru podstawowego otrzymujesz:

P = ½ · a · (a√3 : 2) = a² · √3 : 4

Przykład: a = 6 cm. h = 6√3 : 2 = 3√3 ≈ 5,20 cm. P = 36√3 : 4 = 9√3 ≈ 15,59 cm².

Drugi przykład: a = 10 cm, P = 100√3 : 4 = 25√3 ≈ 43,30 cm². Zapis z pierwiastkiem jest dokładny, a wynik dziesiętny przybliżony; w zadaniach sprawdź, którego wymaga polecenie.

Który wzór wybrać

• Masz bok i wysokość na niego: P = ½ · a · h.
• Masz trzy boki, a wysokości nie znasz: wzór Herona.
• Masz dwa boki i kąt między nimi: wzór z sinusem.
• Trójkąt jest prostokątny: połowa iloczynu przyprostokątnych.
• Trójkąt jest równoboczny: a² · √3 : 4.

Jeśli w zadaniu brakuje wysokości, a trójkąt jest prostokątny lub równoboczny, wysokość znajdziesz z twierdzenia Pitagorasa lub ze wzoru h = a√3 : 2.

Najczęstsze błędy

• Pominięcie połowy: P = a · h to pole równoległoboku, nie trójkąta.
• Użycie boku skośnego jako wysokości. Wysokość tworzy z podstawą kąt prosty.
• We wzorze Herona: wstawienie całego obwodu zamiast jego połowy p.
• Brak jednostki: pole podajesz w jednostkach kwadratowych (cm², m²).
• We wzorze z sinusem: użycie kąta, który nie leży między danymi bokami.

Zobacz też: Pola figur płaskich, Pole koła.