Czym jest pole figury
Pole figury płaskiej to liczba jednostek kwadratowych potrzebnych do jej pokrycia. Jednostką jest kwadrat o boku 1 (np. 1 cm), czyli 1 cm². Podstawa programowa wymienia jednostki pola mm², cm², dm², m², km² oraz ar i hektar. Wymaga też liczenia pól kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku i trapezu na rysunku i w sytuacjach praktycznych, także z zamianą jednostek.
Pole różni się od obwodu. Obwód to suma długości boków (np. 2·(a + b) dla prostokąta) i wyrażasz go w zwykłych jednostkach długości, np. w cm.
Tabela wzorów
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Figura | Kluczowa cecha | Wzór na pole | Dane |
|---|---|---|---|
| Kwadrat | cztery równe boki i kąty proste | P = a·a | bok a |
| Prostokąt | cztery kąty proste | P = a·b | boki a i b |
| Równoległobok | dwie pary boków równoległych | P = a·h | bok a i wysokość h opuszczona na ten bok |
| Romb | cztery boki równej długości | P = e·f : 2 albo P = a·h | przekątne e i f albo bok i wysokość |
| Trapez | co najmniej jedna para boków równoległych (podstawy) | P = (a + b)·h : 2 | podstawy a, b i wysokość h |
Figury te są ze sobą spokrewnione: kwadrat jest prostokątem i rombem, a każdy prostokąt, romb i kwadrat jest równoległobokiem. Ich wzory też się wiążą, dlatego wystarczy zapamiętać zasadę, a nie pięć osobnych reguł.
Kwadrat i prostokąt
Kwadrat ma równe boki i kąty proste, więc jego pole to bok razy bok. Prostokąt ma kąty proste, ale boki mogą być różne, więc mnożysz sąsiednie boki.
Przykład 1. Kwadrat o boku 7 cm: P = 7 · 7 = 49 cm².
Przykład 2. Pokój ma wymiary 5 m na 12 m. P = 12 · 5 = 60 m². Obwód to 2 · (12 + 5) = 34 m, czyli zupełnie inna wielkość.
Przykład 3 (zamiana jednostek). Deska ma 2,5 m długości i 40 cm szerokości. Wymiary muszą być w tej samej jednostce: 2,5 m = 250 cm, więc P = 250 · 40 = 10 000 cm², czyli 1 m².
Równoległobok
Za podstawę bierzesz dowolny bok, a wysokość to odległość tej podstawy od przeciwległego boku, mierzona prostopadle. Wzór P = a·h wynika z przekształcenia: odcięty trójkąt możesz przesunąć na drugą stronę i powstaje prostokąt o wymiarach a i h.
Przykład 4. Równoległobok ma bok 9 cm i wysokość 4 cm opuszczoną na ten bok. P = 9 · 4 = 36 cm². Drugi bok (skośny) nie bierze udziału w tym obliczeniu, chyba że to jego wysokość jest dana.
Romb
Romb to równoległobok o równych bokach, więc działa wzór a·h. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne, stąd wzór P = e·f : 2.
Przykład 5. Przekątne rombu mają 10 cm i 6 cm. P = 10 · 6 : 2 = 30 cm².
Trapez
W trapezie liczysz średnią długość podstaw i mnożysz ją przez wysokość: P = (a + b)·h : 2. Wysokość to odległość między podstawami, a nie długość ramienia (chyba że trapez jest prostokątny).
Przykład 6. Podstawy mają 8 cm i 5 cm, wysokość 4 cm. P = (8 + 5) · 4 : 2 = 26 cm².
Przykład 7 (obliczanie dowolnej danej). Pole trapezu wynosi 50 cm², podstawy mają 12 cm i 8 cm. Z równania 50 = (12 + 8)·h : 2, czyli 50 = 10·h, wychodzi h = 5 cm.
Figury złożone
Gdy figura nie ma gotowego wzoru, dzielisz ją na prostsze części albo uzupełniasz do większej figury i odejmujesz. Podstawa programowa nazywa to metodą podziału na mniejsze wielokąty lub uzupełniania do większych.
Przykład 8. Prostokąt 10 cm na 6 cm ma wycięty prostokątny kawałek 4 cm na 3 cm. Pole pozostałej figury: 10 · 6 − 4 · 3 = 60 − 12 = 48 cm².
Jednostki pola
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Jednostka | Zależność |
|---|---|
| 1 cm² | 100 mm² |
| 1 dm² | 100 cm² |
| 1 m² | 100 dm², czyli 10 000 cm² |
| 1 ar | 100 m² |
| 1 hektar | 10 000 m² (100 arów) |
Przy zamianie jednostek pola mnożysz lub dzielisz przez kwadrat przelicznika długości: skoro 1 m = 100 cm, to 1 m² = 100 · 100 = 10 000 cm².
Najczęstsze błędy
- Pomylenie pola z obwodem (dodawanie boków zamiast mnożenia).
- Użycie długości ukośnego boku zamiast wysokości w równoległoboku i trapezie.
- Pomnożenie wymiarów w różnych jednostkach (m razy cm).
- Zapomnienie o dzieleniu przez 2 we wzorze na romb albo trapez.
- Zapis wyniku w cm zamiast w cm².
Zobacz też: Pole trójkąta, Pole koła, Twierdzenie Pitagorasa.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jak obliczyć pole prostokąta?
Pomnóż długości dwóch sąsiednich boków. Dla boków 12 m i 5 m wychodzi 60 m².
Jaki jest wzór na pole trapezu?
P = (a + b)·h : 2, gdzie a i b to podstawy, a h wysokość. Dla podstaw 8 cm i 5 cm oraz wysokości 4 cm pole to 26 cm².
Czym różni się wzór na pole rombu od wzoru na pole równoległoboku?
Romb jest równoległobokiem, więc możesz użyć wzoru a·h. Dodatkowo, gdy znasz przekątne, liczysz P = e·f : 2.
Czy w równoległoboku mnożę boki?
Nie. Mnożysz bok przez wysokość opuszczoną na ten bok, bo skośny bok nie jest prostopadły do podstawy.
Ile metrów kwadratowych ma ar?
Ar to 100 m², a hektar to 10 000 m².