Wzór na objętość walca
Walec ma dwie równe podstawy w kształcie koła i wysokość H, czyli odległość między podstawami. Objętość walca liczysz tak samo jak objętość graniastosłupa: pole podstawy razy wysokość.
V = Pp · H gdzie Pp = π · r²
V = π · r² · HPrzesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Symbol | Znaczenie | Jak go znaleźć |
|---|---|---|
| V | objętość walca | wynik, w jednostkach sześciennych (cm³, dm³, m³) |
| Pp | pole podstawy (koła) | π · r² |
| r | promień podstawy | połowa średnicy: r = d / 2 |
| H | wysokość walca | odległość między podstawami |
| π | stała, ok. 3,14 | w zadaniach często zostawia się π w wyniku albo przyjmuje 3,14 |
Wszystkie długości muszą być w tej samej jednostce. Jeśli promień masz w centymetrach, a wysokość w metrach, najpierw zamień jedną z nich.
Jak obliczyć objętość walca krok po kroku
- Ustal promień podstawy. Gdy w zadaniu jest średnica, podziel ją przez 2.
- Oblicz pole podstawy: Pp = π · r².
- Pomnóż pole podstawy przez wysokość H.
- Zapisz wynik z jednostką sześcienną i, jeśli trzeba, zamień ją na litry.
Przykłady z rozwiązaniami
Przykład 1: promień i wysokość w centymetrach
Walec ma promień podstawy 5 cm i wysokość 10 cm.
- Pole podstawy: Pp = π · 5² = 25π cm².
- Objętość: V = 25π · 10 = 250π cm³.
- Przybliżenie: V ≈ 785,4 cm³ (dla π ≈ 3,14 wychodzi 785 cm³).
W litrach: 785,4 cm³ ≈ 0,785 l.
Przykład 2: dana jest średnica (puszka)
Puszka ma średnicę 8 cm i wysokość 12 cm. Jaką największą ilość płynu mieści?
- Promień: r = 8 / 2 = 4 cm.
- Objętość: V = π · 4² · 12 = 192π cm³ ≈ 603,2 cm³.
- Zamiana na litry: 603,2 cm³ ≈ 0,603 l, czyli ok. 603 ml.
Przykład 3: zbiornik w metrach sześciennych i litrach
Zbiornik w kształcie walca ma promień podstawy 0,5 m i wysokość 1,2 m.
- Objętość: V = π · 0,5² · 1,2 = 0,3π m³ ≈ 0,942 m³.
- Zamiana: 1 m³ = 1000 l, więc V ≈ 942 l.
Przykład 4: szukana wysokość
W walcu o promieniu podstawy 5 cm ma się zmieścić dokładnie 1 litr wody. Jak wysoko sięgnie woda?
- 1 l = 1000 cm³.
- Ze wzoru H = V / (π · r²) = 1000 / (25π) ≈ 12,73 cm.
Podobnie wyznaczysz promień: r = √(V / (π · H)).
Jednostki: cm³, dm³, m³ i litry
Litr to nic innego jak decymetr sześcienny. Z tego wynikają wszystkie przeliczenia w zadaniach z walcem.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Jednostka | Przeliczenie |
|---|---|
| 1 l | = 1 dm³ = 1000 cm³ |
| 1 ml | = 1 cm³ = 0,001 l |
| 1 m³ | = 1000 dm³ = 1000 l |
| 1 dm³ | = 1000 cm³ |
Jednostki sześcienne przeliczasz przez 1000, a nie przez 10 czy 100, bo objętość zależy od trzech wymiarów: 1 dm = 10 cm, więc 1 dm³ = 10 · 10 · 10 = 1000 cm³.
Objętość a pole powierzchni walca
Z objętością walca często pojawia się pole powierzchni. Różnica jest zasadnicza: objętość mówi, ile mieści się w środku (jednostki sześcienne), a pole powierzchni, ile materiału potrzeba na jego zewnętrzną „skórę” (jednostki kwadratowe).
Po rozwinięciu walca dostajesz dwa koła (podstawy) i prostokąt o bokach 2πr oraz H (powierzchnia boczna):
Pb = 2π · r · H
Pc = 2 · π · r² + 2π · r · H = 2πr · (r + H)Przykład. Walec ma promień 3 cm i wysokość 4 cm.
- Objętość: V = π · 3² · 4 = 36π ≈ 113,1 cm³.
- Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2π · 9 + 2π · 3 · 4 = 18π + 24π = 42π ≈ 131,9 cm².
Dwa walce o tej samej objętości mogą mieć różne pola powierzchni, więc nie zamieniaj jednego wzoru na drugi.
Najczęstsze błędy
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Błąd | Skutek | Jak poprawić |
|---|---|---|
| Średnica wstawiona w miejsce promienia | wynik 4 razy za duży (dla d = 10 cm zamiast r = 5 cm: 3141,6 cm³ zamiast 785,4 cm³) | zawsze zaczynaj od r = d / 2 |
| Brak kwadratu przy r (π · r · H) | błędna wartość, inna jednostka | pamiętaj, że pole podstawy to πr² |
| Różne jednostki w jednym wzorze | wynik pomnożony o potęgę 10 | przed obliczeniem zamień wszystko na jedną jednostkę |
| Zamiana cm³ na litry przez 10 lub 100 | wynik 100 lub 10 razy za duży | 1 l = 1000 cm³ |
| Wynik w cm² lub cm | jednostka niezgodna z objętością | objętość zapisuj w cm³, dm³ lub m³ |
| Użycie wzoru na pole powierzchni | liczba bez związku z pojemnością | do pojemności używaj V = πr²H |
Zobacz też: Pole koła, Pola figur płaskich.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jaki jest wzór na objętość walca?
V = π · r² · H, gdzie r to promień podstawy, a H to wysokość walca. Można go zapisać jako V = Pp · H, bo πr² to pole podstawy.
Jak obliczyć objętość walca, gdy znam średnicę?
Podziel średnicę przez 2, żeby otrzymać promień, a potem użyj wzoru V = πr²H. Możesz też użyć wzoru z średnicą: V = π · d² · H / 4.
Ile litrów mieści walec?
Oblicz objętość w cm³ i podziel przez 1000, np. 785 cm³ to 0,785 l. Gdy masz wymiary w decymetrach, objętość w dm³ jest od razu liczbą litrów.
Czy w zadaniu zostawić π, czy podstawić 3,14?
Postępuj zgodnie z poleceniem. Jeśli zadanie nie podaje przybliżenia, zostaw wynik z π (np. 250π cm³) albo podaj wartość przybliżoną z informacją, jakiego przybliżenia użyto.
Czym różni się objętość od pola powierzchni walca?
Objętość (V = πr²H) opisuje wnętrze i jest w jednostkach sześciennych. Pole powierzchni całkowitej (Pc = 2πr² + 2πrH) opisuje powierzchnię zewnętrzną i jest w jednostkach kwadratowych.
Jak zmieni się objętość, gdy podwoję promień?
Wzrośnie czterokrotnie, bo promień występuje we wzorze w kwadracie. Podwojenie wysokości podwaja objętość.