Wzory redukcyjne: jak je stosować i zapamiętać regułę

Do czego służą wzory redukcyjne

Tablica wartości sinusa, cosinusa i tangensa obejmuje kąty ostre. Gdy trzeba obliczyć sin 150°, cos 210° albo tg 135°, kąt wychodzi poza tablicę. Wzory redukcyjne zamieniają taką funkcję na funkcję kąta ostrego, z którego wartości już znasz, na przykład 30°, 45° lub 60°.

Wszystkie wzory wynikają z symetrii okręgu jednostkowego i wykresów funkcji trygonometrycznych. Przykładowo kąty α i 180° − α leżą symetrycznie względem osi pionowej, więc mają ten sam sinus, a przeciwne cosinusy. Dlatego zamiast zapamiętywać kilkadziesiąt równości, wystarczy jedna procedura.

Reguła czterech kroków

Zakładasz, że α jest kątem ostrym (to tylko pomoc przy ustalaniu znaku; wzory są prawdziwe dla każdego α).

1. Rozłóż kąt. Zapisz go jako 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α albo 360° − α, gdzie α jest kątem ostrym. Przykład: 150° = 180° − 30°.
2. Ustal ćwiartkę kąta wyjściowego, czyli tego, którego funkcję obliczasz (150° leży w II ćwiartce).
3. Ustal znak. Sprawdź, jaki znak ma oryginalna funkcja w tej ćwiartce (sinus w II ćwiartce jest dodatni).
4. Zdecyduj, czy zmienić funkcję. Dla 90° i 270° zamieniasz sin na cos, cos na sin, tg na ctg i ctg na tg. Dla 180° i 360° funkcja zostaje ta sama. Zapisz znak z kroku 3 i wartość funkcji kąta ostrego.

Znaki w ćwiartkach: w I wszystkie funkcje są dodatnie, w II tylko sinus, w III tylko tangens (i cotangens), w IV tylko cosinus.

Dlaczego zmienia się funkcja

Punkt na okręgu jednostkowym ma współrzędne (cos, sin): położenie poziome to cosinus, wysokość to sinus. Obrót o ćwierć obrotu (90° lub 270°) zamienia te współrzędne miejscami, więc przy kątach 90° ± α oraz 270° ± α sinus przechodzi w cosinus i odwrotnie. Obrót o pół obrotu (180°), pełny obrót (360°) i odbicie względem osi nie zamieniają współrzędnych miejscami: wysokość zostaje wysokością, a położenie poziome położeniem poziomym, więc funkcja się nie zmienia i może zmienić się tylko znak.

Tabela wzorów redukcyjnych

Poniższa tabela zbiera wyniki reguły dla ostrego kąta α. Nie uczysz się jej na pamięć: odtwarzasz każdy wiersz czterema krokami.

Karta wzorów na egzamin maturalny od 2023 roku zawiera wybrane wzory redukcyjne dla 90° i 180°. Pozostałe, dla 270° i 360°, wyprowadzisz z nich oraz z okresowości (360° to pełny obrót, więc 360° − α daje to samo co −α).

Przykłady

Przykład 1: sin 150°

150° = 180° − 30°, II ćwiartka, sinus jest tam dodatni, funkcja się nie zmienia:

sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.

Przykład 2: cos 210°

210° = 180° + 30°, III ćwiartka, cosinus jest tam ujemny, funkcja się nie zmienia:

cos 210° = −cos 30° = −√3/2 ≈ −0,8660.

Przykład 3: tg 135°

135° = 180° − 45°, II ćwiartka, tangens jest tam ujemny:

tg 135° = −tg 45° = −1.

Przykład 4: sin 240° dwoma sposobami

240° = 270° − 30°, III ćwiartka, sinus jest tam ujemny, a przy 270° funkcja się zmienia na cosinus:

sin 240° = −cos 30° = −√3/2.

Kontrola drugą drogą: 240° = 180° + 60°, więc sin 240° = −sin 60° = −√3/2. Oba wyniki są równe. Taką kontrolę warto zrobić, gdy kąt da się rozłożyć na dwa sposoby.

Przykład 5: cos 315°

315° = 360° − 45°, IV ćwiartka, cosinus jest tam dodatni, funkcja się nie zmienia:

cos 315° = cos 45° = √2/2 ≈ 0,7071.

Przykład 6: kąt większy niż 360°

Funkcje sinus i cosinus mają okres 360°. Odejmij pełne obroty: 1230° − 3 · 360° = 150°. Zatem sin 1230° = sin 150° = 1/2.

Przykład 7: upraszczanie wyrażeń z α

Dla dowolnego kąta α:

• sin(180° − α) · cos(90° + α) = sin α · (−sin α) = −sin² α,
• sin(90° + α) + cos(180° − α) = cos α − cos α = 0,
• tg(180° − α) · ctg(90° + α) = (−tg α) · (−tg α) = tg² α.

Kąty ujemne, radiany i inne zapisy

Dla kąta ujemnego korzystasz z zależności sin(−α) = −sin α oraz cos(−α) = cos α. Przykład: sin(−30°) = −1/2, a cos(−60°) = 1/2.

W radianach 180° odpowiada π, a 90° to π/2. Wzory mają tę samą postać, na przykład sin(π − α) = sin α. Przykład: cos(7π/6) = cos(π + π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.

Skrót: jak wybrać zapis kąta

W praktyce najwygodniej rozkładać na 180° ± α i 360° − α, bo wtedy funkcja nie zmienia się wcale i odpada najczęstszy powód pomyłek.

Najczęstsze błędy

• Znak według funkcji wynikowej, nie wyjściowej. O znaku decyduje ćwiartka kąta wyjściowego i jego oryginalna funkcja. Przy sin(90° + α) = cos α wynik jest dodatni, bo sinus w II ćwiartce jest dodatni, a nie dlatego, że „cos jest dodatni”.
• Zmiana funkcji przy 180° i 360°. Dla tych kątów funkcja zostaje, zmienia się tylko znak.
• Brak zmiany funkcji przy 90° i 270°. Tu sin przechodzi w cos, a tg w ctg.
• Traktowanie α jako tego samego kąta w całym wzorze. α w tabeli jest kątem ostrym, który odjęto lub dodano, a nie kątem wyjściowym.
• Pomijanie okresu. Kąty większe niż 360° najpierw sprowadź do przedziału od 0° do 360°.
• Mylenie ze wzorami na sumę kątów. Wzór sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β jest innym narzędziem; wzory redukcyjne to jego szczególne przypadki dla kątów 90°, 180°, 270° i 360°.

Zobacz też: Wzory trygonometryczne.