Wzory dla jednego kąta
Te zależności są prawdziwe dla każdego kąta α, dla którego obie strony mają sens.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Wzór | Zapis | Kiedy go użyć |
|---|---|---|
| jedynka trygonometryczna | sin² α + cos² α = 1 | masz sinus, a potrzebujesz cosinusa (lub odwrotnie) |
| tangens przez sinus i cosinus | tg α = sin α / cos α, dla cos α ≠ 0 | masz dwie z trzech funkcji, trzecią dostajesz dzieleniem |
| postać przekształcona jedynki | sin² α = 1 − cos² α oraz cos² α = 1 − sin² α | upraszczasz wyrażenia, w których występuje tylko jedna funkcja |
Jedynka wynika z twierdzenia Pitagorasa dla punktu M(x, y) na okręgu o promieniu 1: skoro cos α = x i sin α = y, to x² + y² = 1. Nazwa „jedynka” bierze się stąd, że suma kwadratów sinusa i cosinusa zawsze daje 1.
Przykład 1: z sinusa do pozostałych funkcji
Niech sin α = 0,8, a α jest kątem rozwartym (II ćwiartka). Z jedynki: cos² α = 1 − 0,64 = 0,36, więc cos α = 0,6 albo −0,6. W II ćwiartce cosinus jest ujemny, zatem cos α = −0,6. Stąd tg α = 0,8 ÷ (−0,6) = −4/3 ≈ −1,3333.
Zapamiętaj: jedynka daje tylko kwadrat szukanej funkcji, więc znak musisz dobrać z ćwiartki, w której leży kąt.
Wzory na sumę i różnicę kątów
Gdy kąt jest sumą lub różnicą dwóch kątów α i β, możesz rozłożyć funkcję na funkcje składników:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Funkcja | Suma kątów | Różnica kątów |
|---|---|---|
| sinus | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β |
| cosinus | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β |
| tangens | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β) | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β) |
Znaki w sinusie są takie same jak między kątami, a w cosinusie przeciwne. To najprostszy sposób, żeby nie pomylić wzorów. Dla tangensa mianownik musi być różny od zera, a tg α i tg β muszą istnieć.
Najczęstsze zastosowanie to obliczanie dokładnych wartości dla kątów spoza tabeli 30°, 45°, 60°, jeśli da się je zapisać jako sumę lub różnicę kątów z tabeli.
Przykład 2: sin 75°
Zapisz 75° = 45° + 30°. Wtedy:
sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4 ≈ 0,9659.
Ten sam wynik dostaniesz z kalkulatora, co potwierdza obliczenie.
Przykład 3: tg 75°
tg 75° = (tg 45° + tg 30°) / (1 − tg 45° · tg 30°) = (1 + √3/3) / (1 − √3/3) = (3 + √3) / (3 − √3).
Po usunięciu niewymierności z mianownika (mnożenie licznika i mianownika przez 3 + √3) wychodzi (12 + 6√3) / 6 = 2 + √3 ≈ 3,7321.
Przykład 4: zwijanie wyrażenia
Jeśli w zadaniu masz wyrażenie cos 50° · cos 30° + sin 50° · sin 30°, rozpoznaj prawą stronę wzoru na cos(α − β) i zwiń je: to cos(50° − 30°) = cos 20°. Czytanie wzoru „od prawej do lewej” upraszcza wiele wyrażeń.
Wzory na kąt podwojony
Podstaw β = α do wzorów na sumę, a dostaniesz:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Funkcja | Wzór | Uwagi |
|---|---|---|
| sinus | sin 2α = 2 sin α cos α | wymaga znajomości obu funkcji kąta α |
| cosinus | cos 2α = cos² α − sin² α | postać podstawowa |
| cosinus (tylko sinus) | cos 2α = 1 − 2 sin² α | gdy znasz tylko sin α |
| cosinus (tylko cosinus) | cos 2α = 2 cos² α − 1 | gdy znasz tylko cos α |
| tangens | tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) | dla tg α istniejącego i tg² α ≠ 1 |
Trzy postaci cosinusa są równoważne, bo różnią się zastosowaniem jedynki. Wybieraj tę, w której występuje funkcja, którą znasz.
Przykład 5: kąt podwojony z trójkąta 3, 4, 5
Niech sin α = 0,6 i cos α = 0,8 (kąt ostry). Wtedy:
- sin 2α = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96,
- cos 2α = 0,8² − 0,6² = 0,64 − 0,36 = 0,28,
- tg 2α = 0,96 ÷ 0,28 = 24/7 ≈ 3,4286.
Sprawdzenie jedynką: 0,96² + 0,28² = 0,9216 + 0,0784 = 1. Wynik jest więc spójny.
Przykład 6: cos 120° bez tablicy
120° = 2 · 60°, więc cos 120° = 2 cos² 60° − 1 = 2 · (1/2)² − 1 = 2 · 1/4 − 1 = −1/2. To zgadza się z wartością odczytaną z okręgu jednostkowego.
Przykład 7: kwadrat sumy sinusa i cosinusa
(sin α + cos α)² = sin² α + 2 sin α cos α + cos² α = 1 + sin 2α. Jeśli sin α + cos α = 1,4, to 1,96 = 1 + sin 2α, więc sin 2α = 0,96. Takie połączenie wzoru skróconego mnożenia, jedynki i kąta podwojonego często pojawia się w zadaniach z trygonometrii.
Jak wybrać wzór
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Sytuacja w zadaniu | Wzór, który pasuje |
|---|---|
| znasz jedną funkcję kąta, szukasz innej | jedynka i tg = sin/cos |
| kąt to suma lub różnica kątów z tabeli (np. 75°, 15°, 105°) | wzory na sumę i różnicę |
| w wyrażeniu pojawia się 2α | wzory na kąt podwojony |
| w wyrażeniu jest iloczyn typu sin α cos α | sin 2α = 2 sin α cos α czytany wstecz |
| w wyrażeniu jest cos² α − sin² α | cos 2α |
| kąt jest większy niż 90° | wzory redukcyjne, omówione osobno |
Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić funkcję dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego i stanowią odrębny temat.
Gdzie szukać wzorów na egzaminie
Karta wzorów na egzamin maturalny z matematyki zawiera związki między funkcjami tego samego kąta, a także wzory na sumę i różnicę kątów oraz na podwojony kąt. Mimo to warto je rozumieć, a nie tylko wyszukiwać: łatwiej zauważyć, który wzór pasuje do zadania, i szybciej wychwycić pomyłkę w znaku.
Najczęstsze błędy
- Założenie, że sin(α + β) = sin α + sin β. To nieprawda; sprawdź na przykładzie: sin(30° + 30°) = sin 60° ≈ 0,866, a sin 30° + sin 30° = 1.
- Pomylenie znaków w cosinusie sumy i różnicy (w cosinusie znak jest przeciwny niż między kątami).
- Pominięcie wyboru znaku po wyliczeniu pierwiastka z jedynki: cos α = ±√(1 − sin² α), a znak wynika z ćwiartki.
- Zapis sin² α jako sin α², czyli podniesienie do kwadratu samego kąta.
- Użycie wzoru na tangens, gdy tg α lub mianownik nie istnieje (np. dla α = 90°).
Najczęstsze pytania (FAQ)
Co to jest jedynka trygonometryczna?
To tożsamość sin² α + cos² α = 1, prawdziwa dla każdego kąta α. Wynika z twierdzenia Pitagorasa zapisanego dla punktu na okręgu jednostkowym.
Jak z sinusa obliczyć cosinus?
Z jedynki: cos α = ±√(1 − sin² α). Znak wybierz według ćwiartki: w I i IV ćwiartce cosinus jest dodatni, w II i III ujemny.
Czy sin 2α to to samo co 2 sin α?
Nie. Poprawny wzór to sin 2α = 2 sin α cos α. Dla α = 30° mamy sin 60° ≈ 0,866, a 2 sin 30° = 1.
Który wzór na cos 2α wybrać?
Ten, w którym masz dane. Znasz oba, użyj cos² α − sin² α; znasz tylko sinus, użyj 1 − 2 sin² α; znasz tylko cosinus, użyj 2 cos² α − 1.
Czy trzeba znać te wzory na pamięć?
Wszystkie wzory z tego artykułu są w karcie wzorów CKE, ale jedynkę i tg α = sin α / cos α wypada znać bez zaglądania, bo używa się ich ciągle. Pozostałe łatwiej zapamiętasz, gdy zrozumiesz, że wzory na kąt podwojony wynikają ze wzorów na sumę.
Czym różnią się wzory trygonometryczne od redukcyjnych?
Wzory z tego artykułu wiążą funkcje różnych kątów lub tego samego kąta. Wzory redukcyjne sprowadzają funkcję kąta większego niż 90° do funkcji kąta ostrego.