Postać ogólna i co mówią współczynniki
W postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c współczynnik a musi być różny od zera, bo przy a = 0 zniknąłby wyraz z x² i zostałaby funkcja liniowa. Każdy współczynnik coś zdradza o wykresie:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Element wzoru | Co oznacza na wykresie |
|---|---|
| a > 0 | ramiona paraboli skierowane do góry, wierzchołek jest najniższym punktem |
| a < 0 | ramiona skierowane w dół, wierzchołek jest najwyższym punktem |
| większa wartość |a| | parabola węższa, „bardziej strzelista” |
| c | punkt przecięcia z osią Oy to (0, c), bo f(0) = c |
| p, q | wierzchołek W = (p, q) |
Wykres każdej funkcji kwadratowej ma oś symetrii: pionową prostą x = p przechodzącą przez wierzchołek. Punkty leżące po obu stronach tej prostej w tej samej odległości mają taką samą wartość funkcji.
Wierzchołek paraboli
Odcięta wierzchołka wynosi p = −b/(2a). Rzędną najprościej policzyć, podstawiając p do wzoru: q = f(p). Wierzchołek jest jedynym punktem ekstremum funkcji: dla a > 0 to minimum, dla a < 0 maksimum.
Przykład. Dla f(x) = x² − 4x + 3 mamy a = 1, b = −4, c = 3. Wtedy p = 4/2 = 2, a q = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Wierzchołek to W = (2, −1), a oś symetrii to prosta x = 2.
Postać kanoniczna
Postać kanoniczna to f(x) = a(x − p)² + q. Jej zaleta: wierzchołek widać od razu, bez rachunków. Współczynnik a ma tę samą wartość co w postaci ogólnej, a liczby p i q pokazują przesunięcie paraboli y = ax²: o p w prawo (znak minus we wzorze!) i o q w górę.
Jak zapisać postać ogólną w kanonicznej:
- Odczytaj a, b i oblicz p = −b/(2a).
- Oblicz q = f(p).
- Wstaw do wzoru a(x − p)² + q.
Dla f(x) = x² − 4x + 3 wychodzi f(x) = (x − 2)² − 1. Dla f(x) = x² + 6x + 5 mamy p = −3, q = 9 − 18 + 5 = −4, więc f(x) = (x + 3)² − 4. Zwróć uwagę na znak: przy p = −3 we wzorze pojawia się x + 3.
W drugą stronę wystarczy rozwinąć kwadrat. Przykład: 2(x + 1)² − 8 = 2(x² + 2x + 1) − 8 = 2x² + 4x − 6.
Postać iloczynowa
Postać iloczynowa to f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), gdzie x₁ i x₂ są miejscami zerowymi, czyli argumentami, dla których f(x) = 0. Istnieje ona tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe. Funkcja bez miejsc zerowych, której parabola nie dotyka osi Ox, takiej postaci nie ma. Przykładem jest f(x) = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2: wartość nie spada poniżej 2.
Z postaci iloczynowej miejsca zerowe odczytasz natychmiast: dla f(x) = (x − 1)(x − 3) to x₁ = 1 i x₂ = 3. Odcięta wierzchołka leży dokładnie w połowie między nimi: p = (x₁ + x₂)/2.
Gdy znasz postać kanoniczną, miejsca zerowe da się znaleźć wprost, rozwiązując a(x − p)² + q = 0. Dla (x − 2)² − 1 = 0 mamy (x − 2)² = 1, czyli x = 1 lub x = 3, więc f(x) = (x − 1)(x − 3).
Przechodzenie między postaciami
Wszystkie trzy zapisy opisują tę samą funkcję. Przykład: f(x) = −2x² + 8x − 6.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Postać | Zapis | Co widać od razu |
|---|---|---|
| ogólna | −2x² + 8x − 6 | a = −2, punkt (0, −6) na osi Oy |
| kanoniczna | −2(x − 2)² + 2 | wierzchołek W = (2, 2) |
| iloczynowa | −2(x − 1)(x − 3) | miejsca zerowe 1 i 3 |
Zgodność zapisów sprawdza się podstawieniem: dla x = 0 każdy z nich daje −6, a dla x = 4 wszystkie dają −6, bo x = 4 leży symetrycznie do x = 0 względem prostej x = 2.
Z iloczynowej na kanoniczną: p = (1 + 3)/2 = 2, q = f(2) = −2 · 1 · (−1) = 2, więc −2(x − 2)² + 2. Z iloczynowej na ogólną: −2(x − 1)(x − 3) = −2(x² − 4x + 3) = −2x² + 8x − 6.
Szkic wykresu krok po kroku
- Sprawdź znak a, żeby wiedzieć, czy ramiona idą w górę, czy w dół.
- Zaznacz wierzchołek W = (p, q) i narysuj oś symetrii x = p.
- Zaznacz punkt przecięcia z osią Oy, czyli (0, c), oraz jego odbicie względem osi symetrii.
- Jeśli są miejsca zerowe, zaznacz je na osi Ox.
- Połącz punkty gładką krzywą, bez „szpiców” w wierzchołku.
Tabela punktów dla f(x) = x² − 4x + 3 pokazuje symetrię:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 8 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | 8 |
Wartości po obu stronach x = 2 powtarzają się: f(1) = f(3) = 0, f(0) = f(4) = 3, f(−1) = f(5) = 8. Wierzchołek (2, −1) jest najniższym punktem wykresu.
Zobacz też: Delta, Równanie kwadratowe.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Dlaczego a nie może być równe 0?
Przy a = 0 wzór przyjmuje postać bx + c i jest to funkcja liniowa, a jej wykresem jest prosta, nie parabola.
Którą postać wybrać w zadaniu?
Zależy od pytania. Wierzchołek i największą lub najmniejszą wartość najłatwiej odczytać z postaci kanonicznej, miejsca zerowe z iloczynowej, a punkt przecięcia z osią Oy z ogólnej.
Czy każda funkcja kwadratowa ma postać iloczynową?
Nie. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe. Parabola leżąca w całości nad osią Ox albo w całości pod nią takich miejsc nie ma.
Jak szybko sprawdzić, czy przekształcenie jest poprawne?
Podstaw dwie lub trzy łatwe liczby, na przykład 0 i 1, do wzoru przed przekształceniem i po nim. Wyniki muszą być identyczne.
Czy wzory na wierzchołek trzeba znać na pamięć?
Wzór p = −b/(2a) warto zapamiętać, bo szybko prowadzi do wierzchołka. Karta „Wybrane wzory matematyczne”, z której można korzystać na egzaminie maturalnym, zawiera ten wzór w rozdziale o funkcji kwadratowej, ale w zadaniu liczy się umiejętność jego użycia, więc warto ćwiczyć rachunki bez zaglądania do karty.