Równanie kwadratowe krok po kroku: metody i wzory Viète’a

Od czego zacząć: postać ogólna

Pierwszy krok jest zawsze ten sam: przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę, tak żeby po drugiej stronie zostało 0, i uporządkuj je malejąco według potęg x. Dopiero wtedy odczytasz a, b i c.

Przykład. Równanie (x − 1)(x + 2) = 4 wygląda jak iloczyn, ale po prawej stronie nie ma zera, więc nie wolno przyrównywać do zera osobno czynników. Najpierw rozwiń lewą stronę: x² + x − 2 = 4, potem przenieś liczbę: x² + x − 6 = 0. Dopiero teraz a = 1, b = 1, c = −6.

Gdy a = 0, równanie nie jest kwadratowe, tylko liniowe.

Metoda 1: równania niezupełne

Równanie jest niezupełne, gdy brakuje składnika z x albo wyrazu wolnego, czyli gdy b = 0 lub c = 0. Delta nie jest wtedy potrzebna.

Brak składnika z x (b = 0)

Wyznacz x² i wyciągnij pierwiastek, pamiętając o obu znakach.

• 3x² − 12 = 0 → x² = 4 → x = −2 lub x = 2.
• x² − 7 = 0 → x² = 7 → x = −√7 lub x = √7.
• x² + 4 = 0 → x² = −4, a kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny, więc brak rozwiązań rzeczywistych.

Brak wyrazu wolnego (c = 0)

Wyłącz x przed nawias. Iloczyn jest równy zero tylko wtedy, gdy któryś czynnik jest równy zero.

3x² − 12x = 0 → 3x(x − 4) = 0 → x = 0 lub x = 4.

Częsty błąd: dzielenie obu stron przez x. Wtedy gubisz rozwiązanie x = 0.

Metoda 2: wzory skróconego mnożenia i rozkład na czynniki

Jeśli lewą stronę widać jako kwadrat sumy, kwadrat różnicy albo różnicę kwadratów, rozwiązanie wychodzi w jednym kroku. Wzory (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² i a² − b² = (a − b)(a + b) znajdziesz w karcie wzorów na maturę.

Kwadrat sumy lub różnicy rozpoznasz po dwóch cechach: pierwszy i ostatni wyraz są kwadratami (x² i 25 albo 4x² i 9), a środkowy jest podwojonym iloczynem ich pierwiastków (2 · x · 5 = 10x; 2 · 2x · 3 = 12x).

Metoda 3: wzory z deltą

To metoda uniwersalna: działa dla każdego równania kwadratowego. Wzór na wyróżnik Δ = b² − 4ac i znaczenie jego znaku są omówione w osobnym tekście o delcie, więc tutaj tylko skrót procedury:

1. Oblicz Δ = b² − 4ac.
2. Gdy Δ < 0, odpowiedź brzmi: brak rozwiązań rzeczywistych.
3. Gdy Δ = 0, jest jedno rozwiązanie x = −b / (2a).
4. Gdy Δ > 0, są dwa: x₁ = (−b − √Δ) / (2a) i x₂ = (−b + √Δ) / (2a).

Przykład. Równanie 2x² − 5x − 3 = 0: a = 2, b = −5, c = −3. Δ = 25 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49, √Δ = 7. x₁ = (5 − 7) / 4 = −1/2, x₂ = (5 + 7) / 4 = 3.

Równanie z początku, x² + x − 6 = 0: Δ = 1 + 24 = 25, więc x₁ = (−1 − 5) / 2 = −3 i x₂ = (−1 + 5) / 2 = 2.

Sprawdzanie wyniku

Podstaw znalezione liczby do równania. Dla x = 3: 2 · 9 − 15 − 3 = 0, zgadza się. Dla x = −1/2: 2 · 1/4 + 5/2 − 3 = 1/2 + 5/2 − 3 = 0, zgadza się.

Metoda 4: wzory Viète’a

Wzory Viète’a wiążą pierwiastki ze współczynnikami i pozwalają znaleźć drugi pierwiastek, gdy znasz pierwszy. Dla równania ax² + bx + c = 0, które ma rozwiązania (Δ ≥ 0), pierwiastki x₁ i x₂ spełniają:

• suma: x₁ + x₂ = −b/a,
• iloczyn: x₁ · x₂ = c/a.

Zgadywanie pierwiastków całkowitych

Przy a = 1 szukasz dwóch liczb o sumie −b i iloczynie c.

Przykład. x² − 7x + 12 = 0. Szukasz liczb o sumie 7 i iloczynie 12. Rozkłady 12 na czynniki: 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4. Sumę 7 daje tylko para 3 i 4, więc x = 3 lub x = 4.

Przykład ze znakami. x² + 4x − 21 = 0. Iloczyn −21 jest ujemny, więc pierwiastki mają różne znaki. Suma wynosi −4, czyli liczba o większej wartości bezwzględnej jest ujemna: −7 i 3. Sprawdzenie: −7 + 3 = −4 oraz (−7) · 3 = −21.

Ta metoda działa szybko tylko wtedy, gdy pierwiastki są liczbami całkowitymi lub prostymi ułamkami. Gdy nie widać ich po chwili, przejdź do delty.

Wyrażenia z pierwiastkami bez ich liczenia

Wzory Viète’a pozwalają policzyć wartość wyrażenia zbudowanego z x₁ i x₂ bez znajdowania samych pierwiastków. Dla równania x² − 5x + 2 = 0 mamy Δ = 25 − 8 = 17 > 0, a więc x₁ + x₂ = 5 i x₁ · x₂ = 2. Wtedy:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2 · x₁ · x₂ = 25 − 4 = 21.

Znaki pierwiastków w zadaniu z parametrem

Dla jakich m równanie x² − 3x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie? Potrzebujesz trzech warunków:

1. Δ > 0: 9 − 4m > 0, czyli m < 9/4.
2. Iloczyn dodatni: x₁ · x₂ = m > 0.
3. Suma dodatnia: x₁ + x₂ = 3 > 0, ten warunek jest spełniony zawsze.

Wynik: 0 < m < 9/4. Dla m = 2 pierwiastki to 1 i 2, a dla m = 2,25 jest już tylko jeden (1,5).

Którą metodę wybrać

Sprawdzenie rachunków w Pythonie

Poniższa funkcja liczy pierwiastki wzorami z deltą. Służy do kontroli, a nie do nauki: najpierw rozwiąż równanie samodzielnie.

from math import sqrt

def rozwiaz(a, b, c):
    d = b * b - 4 * a * c
    if d < 0:
        return []
    if d == 0:
        return [-b / (2 * a)]
    return [(-b - sqrt(d)) / (2 * a), (-b + sqrt(d)) / (2 * a)]

print(rozwiaz(2, -5, -3))   # [-0.5, 3.0]
print(rozwiaz(1, 1, -6))    # [-3.0, 2.0]
print(rozwiaz(1, 0, 4))     # []

Wyniki zgadzają się z rachunkami z tekstu. Dla równań z pierwiastkiem niewymiernym, np. x² − 7 = 0, program zwraca przybliżenie dziesiętne (około ±2,6458), a zapis dokładny to ±√7.

Najczęstsze błędy

• Zapomniany jeden znak przy pierwiastkowaniu. Z x² = 4 wynika x = 2 lub x = −2.
• Dzielenie przez x. Przy 3x² − 12x = 0 zgubisz rozwiązanie x = 0.
• Rozwiązywanie nieuporządkowanego równania. Wzory z deltą stosuje się dopiero do postaci ax² + bx + c = 0.
• Odwrócone znaki we wzorach Viète’a. Suma to −b/a, nie b/a.
• Wzory Viète’a przy Δ < 0. Zakładają istnienie pierwiastków rzeczywistych, więc przy ujemnej delcie nie mają zastosowania.
• Brak sprawdzenia. Podstawienie obu liczb do równania wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.

Zobacz też: Układ równań.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Jak rozwiązać równanie kwadratowe krok po kroku?

Sprowadź równanie do postaci ax² + bx + c = 0. Jeśli brakuje b albo c, rozwiąż je wprost. Jeśli widać wzór skróconego mnożenia, zwiń lewą stronę. W pozostałych przypadkach policz deltę i wstaw ją do wzorów na x₁ i x₂.

Ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe?

W liczbach rzeczywistych dwa, jedno albo żadnego, zależnie od znaku delty.

Czy zawsze trzeba liczyć deltę?

Nie. Przy b = 0, przy c = 0 albo gdy widać wzór skróconego mnożenia, rozwiązanie jest szybsze bez delty. Delta zawsze działa, ale nie zawsze jest najkrótsza.

Co to są wzory Viète’a?

To związki między pierwiastkami a współczynnikami: x₁ + x₂ = −b/a i x₁ · x₂ = c/a. Obowiązują, gdy Δ ≥ 0.

Czy wzory Viète’a są na karcie wzorów na maturę?

Tak, karta „Wybrane wzory matematyczne” w rozdziale o funkcji kwadratowej zawiera wzory Viète’a przy założeniu Δ ≥ 0. W informatorze poziomu rozszerzonego stosowanie wzorów Viète’a jest wprost wymienione wśród wymagań, a w informatorach poziomu podstawowego takiego zapisu nie ma, choć karta jest wspólna.

Co zrobić, gdy w równaniu są ułamki?

Pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, a gdy mianownik zawiera x, najpierw zapisz dziedzinę. Dopiero potem sprowadź równanie do postaci ogólnej i rozwiąż je wybraną metodą.