Co to jest układ równań
Układ równań to kilka równań, które mają być spełnione jednocześnie. W układzie dwóch równań liniowych z niewiadomymi x i y rozwiązaniem jest para liczb (x, y), która spełnia oba równania naraz. Rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi, interpretacja geometryczna układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych oraz zadania tekstowe to wymagania z podstawy programowej dla liceum i technikum (zakres podstawowy, dział „Układy równań”); powtarza je informator maturalny z matematyki.
Cały artykuł korzysta z jednego układu, żeby pokazać wszystkie metody na tych samych liczbach:
2x + y = 11 x − y = 1
Odpowiedź to x = 4 i y = 3. Poniżej widać, jak do niej dojść na trzy sposoby.
Metoda podstawiania
Polega na tym, że z jednego równania wyznaczasz jedną niewiadomą i wstawiasz ją do drugiego równania. Dzięki temu zostaje równanie z jedną niewiadomą.
- Wybierz równanie i niewiadomą, którą najłatwiej wyznaczyć. W układzie z przykładu z drugiego równania: x = y + 1.
- Podstaw do drugiego równania: 2(y + 1) + y = 11.
- Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą: 2y + 2 + y = 11, więc 3y = 9 i y = 3.
- Oblicz drugą niewiadomą: x = y + 1 = 4.
- Sprawdź w obu równaniach: 2 · 4 + 3 = 11 oraz 4 − 3 = 1. Zgadza się.
Metoda jest wygodna, gdy jedna niewiadoma ma współczynnik 1 lub −1, bo wtedy wyznaczenie jej nie wymaga ułamków.
Metoda przeciwnych współczynników
Polega na takim dodaniu lub odjęciu równań stronami, żeby jedna niewiadoma zniknęła. Najpierw jej współczynniki w obu równaniach muszą być liczbami przeciwnymi.
W przykładowym układzie przy y stoją współczynniki 1 i −1, czyli już są przeciwne. Dodajemy równania stronami:
(2x + y) + (x − y) = 11 + 1, czyli 3x = 12, więc x = 4.
Wstawiasz x = 4 do dowolnego równania, np. do drugiego: 4 − y = 1, więc y = 3. Wynik jest ten sam, co przy podstawianiu.
Gdy współczynniki nie są przeciwne
Zwykle trzeba najpierw pomnożyć jedno lub oba równania przez liczbę. Weźmy układ:
2x + 3y = 12 3x + 2y = 13
Chcemy pozbyć się x. Pierwsze równanie mnożysz przez 3, drugie przez 2:
6x + 9y = 36 6x + 4y = 26
Odejmujesz drugie od pierwszego: 5y = 10, więc y = 2. Z pierwszego równania wyjściowego 2x + 6 = 12, więc x = 3. Sprawdzenie: 3 · 3 + 2 · 2 = 13 oraz 2 · 3 + 3 · 2 = 12. Zgadza się.
Mnożenie obu równań stronami przez tę samą liczbę nie zmienia rozwiązań, bo każde równanie pozostaje równoważne wyjściowemu. Ważne jest, żeby pomnożyć obie strony, a nie tylko tę z niewiadomymi.
Metoda graficzna
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi wyznacza na płaszczyźnie prostą. Rozwiązanie układu to punkt wspólny obu prostych. Z równań przykładowego układu wyznaczasz y: y = 11 − 2x oraz y = x − 1. Kilka punktów:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| x | y = 11 − 2x | y = x − 1 |
|---|---|---|
| 3 | 5 | 2 |
| 4 | 3 | 3 |
| 5 | 1 | 4 |
Dla x = 4 obie proste mają ten sam y = 3, więc przecinają się w punkcie (4, 3). Metoda graficzna dobrze pokazuje sens układu, ale przy niecałkowitych współrzędnych odczyt z rysunku jest niedokładny, więc wynik trzeba potwierdzić rachunkiem.
Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny
Układ niesprzeczny z jednym rozwiązaniem nazywa się oznaczonym, układ bez rozwiązań sprzecznym, a układ z więcej niż jednym rozwiązaniem nieoznaczonym. Dla dwóch prostych odpowiada to trzem położeniom.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Rodzaj układu | Liczba rozwiązań | Proste | Przykład |
|---|---|---|---|
| oznaczony | jedno | przecinają się w jednym punkcie | 2x + y = 11 i x − y = 1 |
| nieoznaczony | nieskończenie wiele | pokrywają się | x + y = 4 i 2x + 2y = 8 |
| sprzeczny | brak | są równoległe | x + y = 4 i x + y = 6 |
Jak to rozpoznać w rachunku:
- W układzie x + y = 4 i 2x + 2y = 8 drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 2. Po wyeliminowaniu niewiadomej dostajesz tożsamość 0 = 0, a rozwiązaniem jest każda para (x, 4 − x).
- W układzie x + y = 4 i x + y = 6 odejmujesz równania stronami i dostajesz 0 = 2. Jest to fałsz, więc rozwiązań nie ma.
Gdy po eliminacji znika też druga niewiadoma, spójrz na prawą stronę: prawda (0 = 0) oznacza układ nieoznaczony, fałsz (0 = liczba różna od zera) oznacza układ sprzeczny.
Którą metodę wybrać
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Sytuacja | Wygodniejsza metoda |
|---|---|
| jedna niewiadoma ma współczynnik 1 lub −1 | podstawianie |
| współczynniki przy jednej niewiadomej są równe lub przeciwne | przeciwne współczynniki |
| oba równania mają „brzydkie” współczynniki | przeciwne współczynniki, po pomnożeniu równań |
| chcesz zobaczyć położenie prostych albo liczbę rozwiązań | metoda graficzna |
Wynik nie zależy od metody, więc jedną z nich możesz użyć do sprawdzenia drugiej.
Zadania tekstowe
Schemat jest zawsze podobny: oznacz niewiadome, ułóż dwa równania z treści, rozwiąż układ, sprawdź wynik w treści zadania i zapisz odpowiedź słowami.
Zeszyty i długopisy
3 zeszyty i 2 długopisy kosztują razem 18 zł, a 2 zeszyty i 4 długopisy kosztują razem 20 zł. Ile kosztuje zeszyt, a ile długopis?
Niech z to cena zeszytu, a d to cena długopisu w złotych:
3z + 2d = 18 2z + 4d = 20
Pierwsze równanie mnożysz przez 2: 6z + 4d = 36. Odejmujesz od niego drugie: 4z = 16, więc z = 4. Z pierwszego równania 12 + 2d = 18, więc d = 3. Sprawdzenie: 2 · 4 + 4 · 3 = 20. Odpowiedź: zeszyt kosztuje 4 zł, a długopis 3 zł.
Suma i różnica
Suma dwóch liczb wynosi 25, a ich różnica 7. Jakie to liczby?
x + y = 25 x − y = 7
Dodajesz równania: 2x = 32, więc x = 16, a y = 25 − 16 = 9. Sprawdzenie: 16 + 9 = 25 oraz 16 − 9 = 7.
Najczęstsze błędy
- Brak nawiasów przy podstawianiu. Wstawiając x = y + 1 do 2x, piszesz 2(y + 1), a nie 2y + 1.
- Błąd znaku przy odejmowaniu równań. Odejmując, zmieniasz znaki wszystkich wyrazów drugiego równania, także wyrazu wolnego.
- Mnożenie tylko jednej strony równania. Obie strony mnożysz przez tę samą liczbę.
- Zatrzymanie się po jednej niewiadomej. Rozwiązaniem jest para liczb, więc oblicz też drugą.
- Brak sprawdzenia. Wstaw obie liczby do obu równań, a przy zadaniu tekstowym także do treści.
Zobacz też: Równanie kwadratowe, Wartość bezwzględna, Matura podstawowa.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania?
Wyznacz jedną niewiadomą z jednego równania, wstaw ją do drugiego, rozwiąż otrzymane równanie z jedną niewiadomą, a potem oblicz drugą niewiadomą i sprawdź wynik w obu równaniach.
Na czym polega metoda przeciwnych współczynników?
Mnożysz równania tak, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodajesz równania stronami. Niewiadoma znika, a zostaje równanie z jedną niewiadomą.
Kiedy układ równań nie ma rozwiązania?
Gdy po eliminacji dostajesz fałszywą równość, np. 0 = 2. Geometrycznie oznacza to dwie proste równoległe, które nie mają punktu wspólnego.
Kiedy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Gdy jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, więc po eliminacji dostajesz prawdziwą równość, np. 0 = 0. Obie proste się pokrywają.
Która metoda jest najlepsza?
Żadna nie jest zawsze najlepsza. Podstawianie jest wygodne, gdy jedna niewiadoma ma współczynnik 1 lub −1, a przeciwne współczynniki, gdy równania mają podobne liczby przy tej samej niewiadomej. Wynik jest taki sam.
Czy trzeba robić sprawdzenie?
Tak, to najszybszy sposób na wykrycie błędu rachunkowego: wstaw obie liczby do obu równań. W zadaniu tekstowym sprawdź też, czy wynik ma sens, np. czy cena nie jest ujemna.