Cztery kroki: od treści do sprawdzonego wyniku
Pólya, matematyk i autor książki „Jak to rozwiązać?” (pierwsze wydanie z 1945 roku), wyróżnił cztery etapy rozwiązywania zadań matematycznych: zrozumienie zadania, ułożenie planu, wykonanie planu i spojrzenie wstecz. Poniższa procedura przekłada je na zadania tekstowe z równaniem.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Krok | Co robisz | Pytanie kontrolne |
|---|---|---|
| 1. Dane i szukane | Czytasz treść dwa razy. Wypisujesz, co jest dane, a czego szukasz, razem z jednostkami. Jeśli się da, rysujesz schemat lub tabelkę. | Czy umiem własnymi słowami powiedzieć, o co pytają? |
| 2. Równanie | Oznaczasz niewiadomą literą (z jednostką) i szukasz związku, który łączy dane z niewiadomą: dwóch wyrażeń na tę samą wielkość. | Co w tym zadaniu jest równe czemu? |
| 3. Obliczenia | Rozwiązujesz równanie, zapisując każdy krok. | Czy każdy krok wynika z poprzedniego? |
| 4. Sprawdzenie | Podstawiasz wynik do treści zadania (nie do własnego równania) i sprawdzasz, czy ma sens. Dopiero potem piszesz odpowiedź zdaniem. | Czy wynik spełnia wszystkie warunki z treści i ma sensowną jednostkę? |
Na stronie opisującej etapy Pólyi pierwszy etap polega na zrozumieniu polecenia, odkryciu, co jest dane, a co szukane, oraz jakie są stosunki między tymi wielkościami. Ostatni etap zaczyna się od sprawdzenia, czy odpowiedź ma sens w kontekście zadania i czy rozwiązanie wykorzystuje wszystkie podane dane. Dlatego w kroku 4 wracasz do treści, a nie tylko do rachunków: równanie z błędem w kroku 2 da wynik, który „zgadza się” z równaniem i nie zgadza się z zadaniem.
Oznaczając niewiadomą, wybieraj najprostszą wielkość: tę, od której pozostałe da się wyrazić w jednym działaniu. Wartości są zwykle dodatnie, a w zadaniach o ludziach i przedmiotach także całkowite, co jest dodatkowym warunkiem w sprawdzeniu.
Zadanie o ruchu: spotkanie dwóch pociągów
Zadanie. Miasta A i B dzieli 180 km. O 8:00 z miasta A rusza pociąg osobowy w stronę B ze średnią prędkością 60 km/h. O 8:30 z B rusza w stronę A ekspres ze średnią prędkością 90 km/h. O której godzinie pociągi się miną?
Dane i szukane. Odległość 180 km, prędkości 60 km/h i 90 km/h, opóźnienie ekspresu 0,5 h. Szukane: moment spotkania.
Równanie. Niech t oznacza czas jazdy ekspresu do spotkania (w godzinach). Osobowy jedzie wtedy t + 0,5 h. Gdy się mijają, sumy ich dróg dają całą trasę:
60 · (t + 0,5) + 90 · t = 180
Rozwiązanie. 60t + 30 + 90t = 180, czyli 150t = 150, więc t = 1 h. Ekspres jedzie godzinę, więc pociągi miną się o 9:30.
Sprawdzenie. Osobowy jedzie od 8:00 do 9:30, czyli 1,5 h, i pokonuje 60 · 1,5 = 90 km. Ekspres jedzie 1 h i pokonuje 90 km. Razem 90 + 90 = 180 km, czyli cała trasa. Odpowiedź: pociągi miną się o 9:30, dokładnie w połowie drogi.
Wzór pomocniczy: droga = prędkość · czas. W zadaniach o ruchu pomaga tabelka z trzema kolumnami (prędkość, czas, droga) i po jednym wierszu na obiekt.
Zadanie o procentach: cena przed obniżką
Zadanie. Po obniżce o 15% płaszcz kosztuje 340 zł. Ile kosztował przed obniżką?
Dane i szukane. Cena po obniżce 340 zł, obniżka 15%. Szukana: cena początkowa.
Równanie. Niech x oznacza cenę przed obniżką. Obniżka o 15% oznacza, że zostaje 85% ceny, więc:
0,85 · x = 340
Rozwiązanie. x = 340 : 0,85 = 400 zł.
Sprawdzenie. 15% z 400 zł to 60 zł, a 400 − 60 = 340 zł. Zgadza się. Typowy błąd to dodanie 15% do 340 zł (340 · 1,15 = 391 zł): procent liczy się od ceny początkowej, a nie końcowej. Taki wynik nie przejdzie sprawdzenia, bo 15% z 391 zł to ok. 58,65 zł, a po odjęciu zostaje ok. 332,35 zł, nie 340 zł.
Odpowiedź: przed obniżką płaszcz kosztował 400 zł.
Z tego samego powodu podwyżka o 20% i następująca po niej obniżka o 20% nie dają ceny wyjściowej: z 100 zł robi się 120 zł, a potem 96 zł (120 · 0,8).
Zadanie o wieku: kiedy wiek się „rozjeżdża”
Zadanie. Ojciec jest o 28 lat starszy od syna. Za 5 lat będzie od niego 3 razy starszy. Ile lat mają teraz?
Dane i szukane. Różnica wieku 28 lat, za 5 lat iloraz wieku wynosi 3. Szukane: wiek obu osób teraz.
Równanie. Niech x oznacza dzisiejszy wiek syna. Ojciec ma wtedy x + 28 lat. Za 5 lat syn będzie miał x + 5, a ojciec x + 33 lata. Ojciec będzie 3 razy starszy:
x + 33 = 3 · (x + 5)
Rozwiązanie. x + 33 = 3x + 15, więc 18 = 2x, czyli x = 9. Syn ma 9 lat, ojciec 9 + 28 = 37 lat.
Sprawdzenie. Za 5 lat syn będzie miał 14 lat, a ojciec 42 lata. 42 : 14 = 3. Różnica wieku nadal wynosi 28 lat. Odpowiedź: syn ma 9 lat, ojciec 37 lat.
Zasada dla zadań o wieku: różnica wieku dwóch osób nie zmienia się z upływem lat, a ich wiek rośnie o tę samą liczbę lat. Warto zapisać wiek obu osób „teraz” i „za k lat” w tabelce.
Zadanie o pracy: trzy urządzenia naraz
Zadanie. Dwie pompy napełniają pusty zbiornik: pierwsza samodzielnie w 10 godzin, druga w 15 godzin. Gdy zbiornik jest pełny, odpływ opróżnia go w 30 godzin. Po jakim czasie napełni się pusty zbiornik, jeśli obie pompy i odpływ działają jednocześnie?
Dane i szukane. Czasy samodzielnej pracy: 10 h, 15 h i 30 h (odpływ). Szukane: czas napełniania przy pracy wszystkich trzech urządzeń.
Równanie. Za jednostkę pracy przyjmij cały zbiornik. Pierwsza pompa napełnia 1/10 zbiornika na godzinę, druga 1/15, odpływ zabiera 1/30. Jeśli t oznacza czas napełniania w godzinach:
(1/10 + 1/15 − 1/30) · t = 1
Rozwiązanie. Wspólny mianownik to 30: 3/30 + 2/30 − 1/30 = 4/30 = 2/15. Zatem (2/15) · t = 1, czyli t = 15/2 = 7,5 godziny.
Sprawdzenie. W ciągu 7,5 h pierwsza pompa napełni 0,75 zbiornika, druga 0,5, a odpływ zabierze 0,25. Razem 0,75 + 0,5 − 0,25 = 1 zbiornik. Odpowiedź: zbiornik napełni się w 7,5 godziny, czyli w 7 godzin i 30 minut.
Schemat: wydajność = 1 : czas pracy samodzielnej, a wydajności urządzeń pracujących razem dodajesz (odpływ odejmujesz). Nie dodawaj czasów: dwie pompy razem pracują krócej niż każda z osobna.
Zadanie o mieszaninach: ile dolać roztworu
Zadanie. Do 300 g roztworu soli o stężeniu 10% dolano roztwór o stężeniu 40%. Ile gramów roztworu 40% trzeba dolać, aby otrzymać roztwór o stężeniu 20%?
Dane i szukane. 300 g roztworu 10%, roztwór dolewany 40%, cel: 20%. Szukane: masa dolewanego roztworu.
Równanie. Niech x oznacza masę dolewanego roztworu w gramach. Masa soli nie ginie przy mieszaniu: sól w roztworze 10% to 0,1 · 300 = 30 g, w dolanym 0,4 · x, a w całości ma stanowić 20% masy 300 + x:
30 + 0,4 · x = 0,2 · (300 + x)
Rozwiązanie. 30 + 0,4x = 60 + 0,2x, więc 0,2x = 30, czyli x = 150 g.
Sprawdzenie. Po zmieszaniu jest 450 g roztworu. Soli: 30 + 0,4 · 150 = 30 + 60 = 90 g. Stężenie: 90 : 450 = 0,2, czyli 20%. Odpowiedź: trzeba dolać 150 g roztworu 40%.
Wynik ma sens też w prostym teście: 20% leży między 10% a 40%, bliżej 10%, więc roztworu 10% musi być więcej niż dolewanego (300 g wobec 150 g).
Który schemat do jakiego typu
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Typ zadania | Wielkości | Związek, z którego powstaje równanie |
|---|---|---|
| Ruch | prędkość, czas, droga | droga = prędkość · czas; suma dróg lub równość czasów |
| Procenty | część, całość, procent | część = procent · całość; zmiana ceny to mnożenie przez 1 ± p |
| Wiek | wiek teraz, wiek za k lat | wiek za k lat = wiek teraz + k; różnica wieku jest stała |
| Praca | wydajność, czas, praca | wydajność = 1 : czas; wydajności się dodają |
| Mieszaniny | masa roztworu, stężenie, masa substancji | masa substancji = stężenie · masa roztworu; substancja się nie zmienia |
Typowe błędy i jak ich uniknąć
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Błąd | Skutek | Jak uniknąć |
|---|---|---|
| Rozpoczynanie liczenia po jednym czytaniu | zła niewiadoma albo pominięty warunek | przeczytaj treść dwa razy i wypisz, czego szukasz |
| Niewiadoma bez jednostki | wynik w złych jednostkach (minuty zamiast godzin) | zapisz „x to czas w godzinach” |
| Procenty liczone od złej wielkości | wynik inny niż w treści | zapisz, od czego liczony jest procent |
| Sprawdzanie tylko podstawieniem do równania | błąd w układaniu równania pozostaje niewidoczny | sprawdzaj wynik z treścią zadania |
| Brak odpowiedzi zdaniem | wynik bez kontekstu | zapisz odpowiedź z jednostką |
Rozwiązując własne zadania tekstowe, ćwicz po jednym typie naraz, a potem mieszaj typy, żeby uczyć się rozpoznawania schematu. To wskazówka praktyczna, nie wynik badań.
Zobacz też: Jak się uczyć matematyki, Procent z liczby, Układ równań.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jak zacząć rozwiązywać zadanie tekstowe?
Przeczytaj treść dwa razy i wypisz, co jest dane, a co szukane, razem z jednostkami. Dopiero potem oznacz niewiadomą i szukaj związku między wielkościami. Rysunek lub tabelka często pokazują ten związek lepiej niż sama treść.
Co oznaczać literą x?
Najprostszą wielkość, od której pozostałe wyrażasz w jednym działaniu, zwykle tę, o którą pytają w zadaniu. W zadaniu o wieku jest to wiek młodszej osoby, w zadaniu o procentach cena lub wartość początkowa.
Skąd wiem, że wynik jest dobry?
Podstaw go do treści zadania, nie do własnego równania, i sprawdź wszystkie warunki oraz jednostkę. Jeśli wynik jest ujemny albo niecałkowity tam, gdzie liczy się osoby lub przedmioty, szukaj błędu w równaniu.
Czy zawsze trzeba układać równanie?
Nie. Część zadań da się rozwiązać rozumowaniem krok po kroku albo metodą prób. Równanie jest jednak najpewniejszym narzędziem, bo zmusza do zapisania wszystkich warunków, a sprawdzenie wyłapuje błędy.
Czy te schematy wystarczą do zadań z egzaminów?
To podstawowy zestaw typów, na których oparte są liczne zadania z tekstem. Zadania egzaminacyjne bywają bardziej złożone, ale zasada jest ta sama: dane, niewiadoma, równanie, sprawdzenie z treścią.
Jak ćwiczyć zadania tekstowe?
Rozwiązuj po kilka zadań jednego typu, zapisując cały tok rozumowania, a potem mieszaj typy. Po każdym zadaniu zanotuj, na którym kroku pojawił się błąd, i wracaj do takich zadań po kilku dniach.