Wzór na deltę
Delta dotyczy trójmianu kwadratowego zapisanego w postaci ogólnej:
ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0.
Wyróżnik oznaczany jest dużą grecką literą Δ (delta) i liczy się go ze wzoru:
Δ = b² − 4ac
Współczynniki odczytujesz z postaci ogólnej: a stoi przy x², b przy x, a c jest wyrazem wolnym, czyli liczbą bez x. Do wzoru wstawiasz je razem ze znakami.
Jak odczytać a, b i c
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Trójmian | a | b | c | Uwaga |
|---|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 | 1 | −5 | 6 | przy x² stoi niewidoczna jedynka |
| −x² + 4x − 3 | −1 | 4 | −3 | minus przed x² oznacza a = −1 |
| x² − 9 | 1 | 0 | −9 | brak składnika z x oznacza b = 0 |
| x² + 4x | 1 | 4 | 0 | brak wyrazu wolnego oznacza c = 0 |
Jeśli trójmian nie jest zapisany w postaci ogólnej, najpierw uporządkuj go: przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę i ułóż malejąco według potęg x.
Co mówi znak delty
Znak delty wyznacza liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczbę rozwiązań rzeczywistych równania kwadratowego i pierwiastków rzeczywistych trójmianu:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Delta | Liczba rozwiązań rzeczywistych | Pierwiastki |
|---|---|---|
| Δ > 0 | dwa różne | x₁ = (−b − √Δ) / (2a), x₂ = (−b + √Δ) / (2a) |
| Δ = 0 | dokładnie jedno | x₁ = x₂ = −b / (2a) |
| Δ < 0 | brak (w liczbach rzeczywistych) | nie istnieją |
Dlaczego tak jest? Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, a pierwiastek wchodzi do wzoru na rozwiązania. Gdy Δ = 0, składnik z pierwiastkiem znika i dwa rozwiązania zlewają się w jedno. Dlatego rozwiązanie przy Δ = 0 nazywa się pierwiastkiem podwójnym.
Przykłady obliczania delty
Przykład 1: delta dodatnia
Trójmian x² − 5x + 6, czyli a = 1, b = −5, c = 6.
Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
Δ > 0, więc istnieją dwa rozwiązania rzeczywiste. Ze wzorów: √Δ = 1, x₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3.
Przykład 2: współczynnik ujemny przy x²
Trójmian −x² + 4x − 3, czyli a = −1, b = 4, c = −3.
Δ = 4² − 4 · (−1) · (−3) = 16 − 12 = 4.
Dwa minusy w iloczynie 4ac dają plus (4 · (−1) · (−3) = 12), więc odejmujesz 12 od 16. Δ > 0, a rozwiązania to x = 1 i x = 3.
Przykład 3: delta równa zero
Trójmian x² − 6x + 9, czyli a = 1, b = −6, c = 9.
Δ = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Jest jedno rozwiązanie: x = −b / (2a) = 6 / 2 = 3.
Przykład 4: delta ujemna
Trójmian x² + 2x + 5, czyli a = 1, b = 2, c = 5.
Δ = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
Δ < 0, więc równanie x² + 2x + 5 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Przykład 5: liczby większe
Trójmian 2x² + 3x − 2, czyli a = 2, b = 3, c = −2.
Δ = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25, √Δ = 5.
x₁ = (−3 − 5) / 4 = −2, x₂ = (−3 + 5) / 4 = 1/2.
Przykład 6: delta w zadaniu z parametrem
Dla jakich wartości parametru m równanie x² + mx + 4 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?
Tu a = 1, b = m, c = 4, więc Δ = m² − 16. Jedno rozwiązanie wymaga Δ = 0, czyli m² = 16, a stąd m = −4 lub m = 4. Dla |m| > 4 delta jest dodatnia (dwa rozwiązania), a dla |m| < 4 ujemna (brak rozwiązań).
Najczęstsze błędy przy liczeniu delty
- Zły znak przy b². Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: (−5)² = 25, a nie −25. Przy kalkulatorze wpisuj liczbę ujemną w nawiasie.
- Pominięcie znaków a i c. Gdy a lub c jest ujemne, iloczyn 4ac zmienia znak, a odjęcie liczby ujemnej to dodawanie (przykład 5).
- Brak c lub b. Jeśli nie ma wyrazu wolnego, c = 0; jeśli nie ma składnika z x, b = 0. Nie pomijaj tych współczynników we wzorze.
- Rozwiązywanie bez uporządkowania równania. Przed obliczeniem delty sprowadź równanie do postaci ax² + bx + c = 0.
- Mylenie delty z pierwiastkiem z delty. Do wzorów na x₁ i x₂ wstawiasz √Δ, a nie samo Δ.
- Pierwiastek z liczby ujemnej. Gdy Δ < 0, nie licz √Δ w liczbach rzeczywistych; odpowiedź brzmi: brak rozwiązań.
Czy zawsze trzeba liczyć deltę
Delta to uniwersalna metoda dla każdego trójmianu kwadratowego, ale nie zawsze najkrótsza. Gdy b = 0 lub c = 0, szybsze bywa przekształcenie równania wprost (x² − 9 = 0 daje x = 3 lub x = −3; x² + 4x = 0 daje x = 0 lub x = −4). Delta pokazuje jednak wynik w każdym przypadku i na jej podstawie możesz od razu ocenić liczbę rozwiązań, także w zadaniach z parametrem.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jaki jest wzór na deltę?
Δ = b² − 4ac, gdzie a, b, c to współczynniki trójmianu ax² + bx + c, przy czym a ≠ 0.
Co oznacza delta w równaniu kwadratowym?
Delta (wyróżnik) rozróżnia trzy przypadki: dwa rozwiązania rzeczywiste przy Δ > 0, jedno przy Δ = 0 i brak przy Δ < 0.
Czy delta może być ujemna?
Tak. Sama delta jest zwykłą liczbą i może być ujemna, np. dla x² + 2x + 5 wynosi −16. Wtedy równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Czy delta zawsze się pisze Δ?
Duża grecka litera Δ jest standardowym oznaczeniem wyróżnika, spotykanym m.in. w karcie wzorów na egzamin maturalny. Wartość liczysz tak samo, niezależnie od zapisu.
Co zrobić, gdy a = 0?
Wtedy wyrażenie nie jest trójmianem kwadratowym, tylko funkcją liniową lub równaniem pierwszego stopnia, i wzoru na deltę nie stosujesz.
Czy muszę znać wzór na deltę na pamięć?
Wzór na wyróżnik jest podany w karcie wzorów na egzamin maturalny, ale warto go znać, bo korzystasz z niego w wielu zadaniach i szybciej rozwiązujesz je bez zaglądania do karty.