Granica funkcji: definicja, obliczanie granic i przykłady

Intuicja: do czego zbliżają się wartości

Granica opisuje zachowanie funkcji w pobliżu punktu, a nie w samym punkcie. Wikipedia definiuje ją jako wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcja może w tym punkcie nie być w ogóle określona, a granica i tak istnieje.

Klasyczny przykład to f(x) = sin(x) / x, której w punkcie 0 nie da się obliczyć (0/0). Wartości w sąsiedztwie zera obliczone w Pythonie:

Wartości zbliżają się do 1, więc granica funkcji sin(x) / x przy x → 0 wynosi 1. Tabela z wartościami nie jest dowodem, ale dobrze pokazuje, czego szukać; dowód wymaga twierdzeń, a nie tabeli.

Definicja granicy w punkcie

W skrócie: funkcja f ma w punkcie c granicę g, jeśli wartości f(x) można umieścić dowolnie blisko g, wybierając x dostatecznie blisko c (ale różne od c). Zapis: lim f(x) = g przy x → c.

Dokładniej, według definicji Cauchy’ego granica g istnieje, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszystkich x spełniających 0 < |x − c| < δ zachodzi |f(x) − g| < ε. Warunek 0 < |x − c| oznacza, że wartość w samym punkcie c nie jest brana pod uwagę. Definicja Heinego mówi to samo językiem ciągów: dla każdego ciągu argumentów xₙ zbieżnego do c (o wyrazach różnych od c) ciąg wartości f(xₙ) musi być zbieżny do g. Obie definicje są równoważne, więc w zadaniach można korzystać z tej, która jest wygodniejsza.

Granica może być też nieskończona. Zapis lim f(x) = +∞ oznacza, że wartości f(x) przewyższają każdą liczbę dodatnią, gdy x jest dostatecznie blisko c.

Granice jednostronne

Granica lewostronna (x → c⁻) uwzględnia tylko argumenty mniejsze od c, a prawostronna (x → c⁺) tylko większe od c. Funkcja ma w punkcie c granicę obustronną wtedy i tylko wtedy, gdy ma obie granice jednostronne i są one równe.

Funkcja |x| / x jest dla x < 0 równa −1, a dla x > 0 równa 1, więc granice jednostronne istnieją, ale są różne. Dla 1 / x granice jednostronne są nieskończone o przeciwnych znakach, więc granica obustronna również nie istnieje.

Granica w nieskończoności

Granica przy x → +∞ (albo x → −∞) pyta, do czego zbliżają się wartości funkcji dla dowolnie dużych (albo dowolnie małych) argumentów. Przykładem jest 1 / x, której granica przy x → ±∞ wynosi 0. Funkcje wykładnicze zachowują się różnie zależnie od podstawy a: dla a > 1 funkcja aˣ dąży do +∞ przy x → +∞ i do 0 przy x → −∞, a dla a z przedziału (0, 1) dąży do 0 przy x → +∞.

Granica w nieskończoności może być skończona (jak 1 / x → 0), może być równa +∞ lub −∞, a może nie istnieć (jak dla sin x).

Obliczanie granic: reguły arytmetyczne

Jeśli funkcje f₁ i f₂ mają w punkcie c granice skończone g₁ i g₂, to granica sumy, różnicy i iloczynu jest odpowiednio sumą, różnicą i iloczynem granic, a granica ilorazu jest ilorazem granic, o ile g₂ ≠ 0. To twierdzenie obowiązuje także dla granic jednostronnych i w nieskończoności. Założenie, że granice są skończone, ma znaczenie, bo inaczej pojawiają się symbole nieoznaczone.

Symbole nieoznaczone

Symbol nieoznaczony to umowny zapis sytuacji, w której samej informacji o granicach składników nie wystarcza do wyznaczenia granicy całego wyrażenia. Wyróżnia się siedem takich symboli:

Nieoznaczony nie znaczy „nie istnieje”: granica takiego wyrażenia może być dowolną liczbą, ±∞ albo w ogóle nie istnieć, zależnie od funkcji. Do jej obliczenia stosuje się przekształcenia algebraiczne lub regułę de l’Hospitala.

Techniki z przykładami

Wszystkie wyniki poniżej sprawdzono w Pythonie z biblioteką sympy (kod na końcu).

Skracanie (0/0 dla wielomianów)

Granica (x² − 4) / (x − 2) przy x → 2 ma postać 0/0. Rozkład licznika daje x² − 4 = (x − 2)(x + 2), a po skróceniu (dla x ≠ 2) zostaje x + 2. Granica wynosi 2 + 2 = 4. Skrócenie jest dozwolone, bo x → 2 oznacza x ≠ 2.

Mnożenie przez sprzężenie (pierwiastki)

Granica (√(x + 9) − 3) / x przy x → 0 ma postać 0/0. Mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie (√(x + 9) + 3), w liczniku dostajesz (x + 9) − 9 = x. Po skróceniu zostaje 1 / (√(x + 9) + 3), co dla x → 0 daje 1 / (3 + 3) = 1/6.

Dzielenie przez najwyższą potęgę (granice w nieskończoności)

Granica (3x² + x) / (2x² − 5) przy x → ∞ ma postać ∞/∞. Po podzieleniu licznika i mianownika przez x² dostajesz (3 + 1/x) / (2 − 5/x²). Ponieważ 1/x → 0 i 5/x² → 0, granica wynosi 3/2. Dla x = 10⁶ wartość wyrażenia to 1,50000050, czyli zgodnie z wynikiem.

Dla ∞ − ∞ stosuje się sprzężenie: √(x² + x) − x = x / (√(x² + x) + x). Po podzieleniu przez x otrzymuje się 1 / (√(1 + 1/x) + 1), co przy x → ∞ daje 1 / (1 + 1) = 1/2.

Granice podstawowe

Dwie granice pojawiają się w zadaniach najczęściej: sin(x) / x → 1 przy x → 0 oraz (1 + 1/x)ˣ → e przy x → ∞, gdzie e ≈ 2,71828. Uogólnienia: sin(ax) / x → a przy x → 0 oraz (1 + a/x)ˣ → eᵃ przy x → ∞. Stąd na przykład sin(3x) / x → 3, a (1 + 2/x)ˣ → e² ≈ 7,389 (dla symbolu 1^∞ powyżej). Liczbę e w postaci granicy ciągu (1 + 1/n)ⁿ otrzymujesz dla n naturalnych: dla n = 10 wartość to 2,5937, dla n = 1000 wynosi 2,7169, a dla n = 10⁶ już 2,718280.

Reguła de l’Hospitala

Reguła pozwala obliczać niektóre granice w sytuacjach, gdzie występują symbole nieoznaczone 0/0 i ∞/∞. Jeśli funkcje f i g mają pochodne w pewnym sąsiedztwie punktu c (przy x → ∞ dla dostatecznie dużych x), g′ jest tam różna od zera, obie funkcje dążą do 0 albo obie do ±∞ oraz istnieje granica ilorazu pochodnych f′ / g′ (skończona lub nieskończona), to taka sama granica dotyczy ilorazu f / g.

Przykłady:

• (eˣ − 1) / x przy x → 0 ma postać 0/0. Pochodne to eˣ i 1, a ich iloraz eˣ / 1 dąży do 1. Granica wynosi 1.
• x / eˣ przy x → ∞ ma postać ∞/∞. Iloraz pochodnych to 1 / eˣ → 0, więc granica wynosi 0. To pokazuje, że eˣ rośnie szybciej niż x.
• (1 − cos x) / x² przy x → 0 ma postać 0/0. Pierwsza pochodna daje sin x / (2x), znów 0/0, więc regułę stosuje się drugi raz: cos x / 2 → 1/2.

Przed użyciem reguły sprawdź dwa warunki: wyrażenie ma postać 0/0 albo ∞/∞ oraz granica ilorazu pochodnych istnieje. Gdy granica ilorazu pochodnych nie istnieje, reguła niczego nie rozstrzyga: granica f / g może istnieć, więc trzeba ją wyznaczyć innym sposobem. Pozostałe symbole (na przykład 0 · ∞ czy 1^∞) najpierw trzeba sprowadzić do jednej z tych postaci, na przykład przez przekształcenie na ułamek lub zastosowanie logarytmu. Pochodne funkcji omawia osobny temat.

Granica funkcji a granica ciągu

Granica ciągu to szczególny przypadek: ciąg aₙ jest funkcją określoną na liczbach naturalnych, a jego granica przy n → ∞ ma ten sam sens, co granica funkcji przy x → ∞. Z definicji Heinego wynika praktyczna wskazówka: aby wykazać, że granica nie istnieje, wystarczą dwa ciągi argumentów zbieżne do c, dla których wartości funkcji zbliżają się do różnych liczb.

Typowe błędy

Sprawdzenie w Pythonie

Poniższy kod sprawdza przykłady z artykułu (wymaga biblioteki sympy):

from sympy import symbols, limit, sqrt, sin, exp, cos, oo, Abs

x = symbols("x")
print(limit((x**2 - 4) / (x - 2), x, 2))                 # 4
print(limit((sqrt(x + 9) - 3) / x, x, 0))                # 1/6
print(limit((3*x**2 + x) / (2*x**2 - 5), x, oo))         # 3/2
print(limit(sqrt(x**2 + x) - x, x, oo))                  # 1/2
print(limit(sin(x) / x, x, 0))                           # 1
print(limit(sin(3*x) / x, x, 0))                         # 3
print(limit((1 + 1/x)**x, x, oo))                        # E
print(limit((1 + 2/x)**x, x, oo))                        # exp(2)
print(limit((exp(x) - 1) / x, x, 0))                     # 1
print(limit(x / exp(x), x, oo))                          # 0
print(limit((1 - cos(x)) / x**2, x, 0))                  # 1/2
print(limit(1 / x, x, 0, "+"), limit(1 / x, x, 0, "-"))  # oo -oo
print(limit(Abs(x) / x, x, 0, "+"), limit(Abs(x) / x, x, 0, "-"))  # 1 -1

Zobacz też: Całka nieoznaczona.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Czym jest granica funkcji w prostych słowach?

To liczba, do której zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do wybranego punktu (lub do nieskończoności). Granica opisuje zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu, a nie jej wartość w tym punkcie.

Czy granica może istnieć, jeśli funkcja nie jest określona w punkcie?

Tak. Funkcja (x² − 4) / (x − 2) nie jest określona dla x = 2, a jej granica w tym punkcie wynosi 4. W definicji granicy wartość w samym punkcie nie jest brana pod uwagę.

Kiedy granica funkcji nie istnieje?

Gdy granice jednostronne są różne (jak dla |x| / x w zerze) albo gdy wartości funkcji nie ustalają się na żadnej liczbie (jak sin x przy x → ∞). Granica równa +∞ lub −∞ to osobny przypadek (granica niewłaściwa), a nie brak granicy w sensie tej odpowiedzi.

Co oznacza symbol nieoznaczony?

Że sama informacja o granicach składników nie wystarcza do wyznaczenia granicy wyrażenia. Wyróżnia się siedem takich symboli, w tym 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞ i 1^∞, a każdy przypadek trzeba rozstrzygnąć osobno.

Kiedy stosować regułę de l’Hospitala?

Dla granic w postaci 0/0 lub ∞/∞, gdy funkcje mają pochodne, a granica ilorazu pochodnych istnieje. Gdy wystarczy skrócenie lub sprzężenie, zwykle jest ono szybsze.

Czym różni się granica funkcji od granicy ciągu?

Ciąg jest funkcją określoną na liczbach naturalnych, więc ma sens tylko granica przy n → ∞. Funkcja rzeczywista może mieć granicę w punkcie, jednostronną i w nieskończoności. Obie granice łączy definicja Heinego.