Definicja liczby pierwszej
Liczba pierwsza to liczba naturalna z dokładnie dwoma różnymi dzielnikami naturalnymi: jedynką i nią samą. Liczby, które mają więcej niż dwa dzielniki, nazywamy złożonymi. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
Dlaczego 1 nie jest pierwsza? Ma tylko jeden dzielnik, a definicja wymaga dwóch różnych. Liczba 2 jest pierwsza, bo dzieli się tylko przez 1 i przez 2. Każda inna liczba parzysta jest podzielna przez 2, więc oprócz 1 i siebie ma jeszcze trzeci dzielnik. Dlatego 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Liczby pierwsze do 100
Do 100 jest 25 liczb pierwszych. W tabeli podano je w kolejnych dziesiątkach.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Przedział | Liczby pierwsze | Ile |
|---|---|---|
| 1–10 | 2, 3, 5, 7 | 4 |
| 11–20 | 11, 13, 17, 19 | 4 |
| 21–30 | 23, 29 | 2 |
| 31–40 | 31, 37 | 2 |
| 41–50 | 41, 43, 47 | 3 |
| 51–60 | 53, 59 | 2 |
| 61–70 | 61, 67 | 2 |
| 71–80 | 71, 73, 79 | 3 |
| 81–90 | 83, 89 | 2 |
| 91–100 | 97 | 1 |
Do 1000 jest ich 168. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, co pokazał już Euklides: gdyby ich zbiór był skończony, to iloczyn wszystkich plus 1 miałby dzielnik pierwszy spoza tego zbioru, a to prowadzi do sprzeczności.
Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza
Metoda 1: dzielniki do pierwiastka
Jeśli liczba naturalna n większa od 1 nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą nie większą od √n, to jest pierwsza. Powód jest prosty: gdyby n = a · b, to jeden z czynników nie przekracza √n, więc szukanie dzielników powyżej pierwiastka nie ma sensu.
Procedura:
- Oszacuj √n i znajdź największą liczbę całkowitą, której kwadrat nie przekracza n.
- Wypisz liczby pierwsze od 2 do tej liczby.
- Sprawdzaj kolejno podzielność n przez każdą z nich. Gdy trafisz na dzielnik, liczba jest złożona i możesz przerwać.
- Jeśli nie znajdziesz dzielnika, liczba jest pierwsza.
Przykład 1: czy 101 jest pierwsza? Mamy 10² = 100 < 101 < 121 = 11², więc wystarczy sprawdzić 2, 3, 5 i 7. Liczba 101 nie dzieli się przez żadną z nich (reszty to 1, 2, 1 i 3), więc jest pierwsza.
Przykład 2: czy 221 jest pierwsza? Mamy 14² = 196 < 221 < 225 = 15². Sprawdzamy 2, 3, 5, 7, 11 i 13. Dopiero 13 jest dzielnikiem: 221 = 13 · 17, więc liczba jest złożona.
Przykład 3: czy 997 jest pierwsza? Mamy 31² = 961 < 997 < 1024 = 32², więc sprawdzamy jedenaście liczb pierwszych od 2 do 31. Żadna nie dzieli 997, więc jest pierwsza.
Przy ręcznym liczeniu pomagają cechy podzielności. Liczba kończąca się 0, 2, 4, 6 lub 8 dzieli się przez 2, kończąca się 0 lub 5 przez 5, a jeśli suma cyfr dzieli się przez 3, to cała liczba też. Dzięki temu dzielniki 2, 3 i 5 odrzucasz od razu, bez dzielenia.
Metoda 2: rozkład na czynniki pierwsze
Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych, ustawionych w kolejności niemalejącej. Liczba jest pierwsza, gdy jej rozkład składa się z jednego czynnika.
Procedura rozkładu:
- Dziel liczbę przez 2, dopóki dzieli się bez reszty, i zapisuj dzielniki.
- Potem rób to samo z 3, następnie z 5, 7, 11 i kolejnymi liczbami pierwszymi.
- Zatrzymaj się, gdy kwadrat próbnego dzielnika przekroczy to, co zostało. Jeśli zostało coś większego od 1, jest to ostatni czynnik pierwszy.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Liczba | Rozkład | Zapis z potęgami |
|---|---|---|
| 360 | 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 | 2³ · 3² · 5 |
| 1001 | 7 · 11 · 13 | 7 · 11 · 13 |
| 2024 | 2 · 2 · 2 · 11 · 23 | 2³ · 11 · 23 |
| 997 | 997 | 997 (liczba pierwsza) |
Przykład kroków dla 2024: dzielimy przez 2 i dostajemy 1012, potem 506, potem 253. Liczba 253 jest nieparzysta i nie dzieli się przez 3, 5 ani 7, ale 253 = 11 · 23, a 23 jest pierwsza.
Które metody wybrać
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Cel | Metoda | Uwagi |
|---|---|---|
| Sprawdzić, czy jedna liczba jest pierwsza | Dzielniki do √n | Szybka dla liczb do kilku tysięcy |
| Znaleźć wszystkie dzielniki, NWD lub NWW | Rozkład na czynniki pierwsze | Daje pełną informację o liczbie |
| Wypisać wszystkie liczby pierwsze w przedziale | Sito Eratostenesa | Algorytm do wyszukiwania liczb pierwszych w zadanym przedziale |
Warto zapamiętać
- Wszystkie liczby pierwsze większe od 3 mają postać 6k − 1 lub 6k + 1. To warunek konieczny, a nie wystarczający: 25 = 6 · 4 + 1 i 35 = 6 · 6 − 1 są złożone.
- Liczby pierwsze, których różnica wynosi 2, nazywamy bliźniaczymi. Do 100 jest ich osiem par, na przykład 11 i 13, 17 i 19, 71 i 73.
- Wiele złożonych liczb wygląda na pierwsze: 91 = 7 · 13, 133 = 7 · 19, 143 = 11 · 13.
- Liczby pierwsze mają zastosowanie w kryptografii, czyli w szyfrowaniu.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
- Sprawdź, czy 143 i 97 są pierwsze. Odpowiedź: 143 = 11 · 13 jest złożona, a 97 jest pierwsza (wystarczy sprawdzić 2, 3, 5 i 7).
- Rozłóż 1260 na czynniki pierwsze. Odpowiedź: 2² · 3² · 5 · 7.
- Ile liczb pierwszych leży między 50 a 70? Odpowiedź: cztery, to 53, 59, 61 i 67.
Zobacz też: NWW i NWD, Sito Eratostenesa.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Czy 1 jest liczbą pierwszą?
Nie. Jedynka ma tylko jeden dzielnik naturalny, a liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa różne dzielniki. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
Czy 2 jest liczbą pierwszą?
Tak. Dzieli się tylko przez 1 i przez 2, a przy tym jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Ile jest liczb pierwszych do 100?
Dwadzieścia pięć: od 2 do 97.
Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?
Podziel ją przez liczby pierwsze nie większe od jej pierwiastka kwadratowego. Jeśli żadna nie jest dzielnikiem, liczba jest pierwsza. Dla liczb parzystych wystarczy zauważyć, że dzielą się przez 2.
Czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele?
Tak. Euklides z Aleksandrii pokazał, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.
Co to jest rozkład na czynniki pierwsze?
To zapis liczby naturalnej większej od 1 jako iloczynu liczb pierwszych, na przykład 360 = 2³ · 3² · 5. Dla każdej takiej liczby rozkład jest jedyny, z dokładnością do kolejności czynników.