W tekście potęgę zapisuje się znakiem ^ (a^3 to a do potęgi 3) albo, dla prostych wykładników, indeksem górnym (a³). Pierwiastek stopnia n z a to ⁿ√a, a dla n = 2 po prostu √a.
Czym jest potęga
Dla liczby całkowitej dodatniej n i dowolnej liczby rzeczywistej a potęga aⁿ to a · a · … · a (n czynników). Liczbę a nazywamy podstawą, a n wykładnikiem. Przykłady: 2⁵ = 32, (−2)⁴ = 16.
Uwaga na nawiasy: (−2)⁴ = 16, ale −2⁴ = −16, bo potęgowanie wykonuje się przed zmianą znaku.
Dla a ≠ 0 przyjmuje się a⁰ = 1, a dla ujemnego wykładnika całkowitego a^(−n) = 1/aⁿ.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Wyrażenie | Obliczenie | Wynik |
|---|---|---|
| 5⁰ | definicja a⁰ = 1 | 1 |
| 10^(−2) | 1/10² = 1/100 | 0,01 |
| 2^(−3) | 1/2³ = 1/8 | 0,125 |
| (−3)² | (−3) · (−3) | 9 |
| −3² | −(3 · 3) | −9 |
Prawa działań na potęgach
Dla a > 0 i b > 0 oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s zachodzą równości z karty wzorów CKE. Gdy wykładniki są całkowite, wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Prawo | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| Mnożenie przy tej samej podstawie | a^r · a^s = a^(r+s) | 2⁵ · 2^(−3) = 2² = 4 |
| Dzielenie przy tej samej podstawie | a^r / a^s = a^(r−s) | 3⁷ / 3⁵ = 3² = 9 |
| Potęga potęgi | (a^r)^s = a^(r·s) | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Potęga iloczynu | (a · b)^r = a^r · b^r | (3 · 2)² = 3² · 2² = 36 |
| Potęga ilorazu | (a/b)^r = a^r / b^r | (2/5)³ = 8/125 |
Przykłady policzone i sprawdzone w Pythonie 3.13 (2026-11-06).
Prawa dotyczą mnożenia, dzielenia i potęgowania. Nie istnieje podobny wzór na sumę: (2 + 3)² = 25, a 2² + 3² = 13.
Wykładnik ujemny i wymierny
Dla a > 0 oraz liczb całkowitych dodatnich m, n definiuje się a^(m/n) = ⁿ√(a^m) oraz a^(−m/n) = 1 / ⁿ√(a^m). W szczególności a^(1/n) = ⁿ√a i a^(1/2) = √a.
Przykłady:
- 8^(2/3) = ³√(8²) = ³√64 = 4 (albo (³√8)² = 2² = 4),
- 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8,
- 27^(−1/3) = 1/³√27 = 1/3,
- 4^(1/2) = √4 = 2.
Przy ułamkowych wykładnikach najpierw zwykle wyciąga się pierwiastek, a potem potęguje wynik, bo liczby są wtedy mniejsze.
Pierwiastki
Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby a ≥ 0 to liczba b ≥ 0 taka, że bⁿ = a. Dla n = 2 mówimy o pierwiastku kwadratowym, dla n = 3 o sześciennym.
Karta wzorów CKE zawiera też ważne zastrzeżenie: w zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje, np. ³√(−8) = −2.
Dla każdej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest równość √(a²) = |a|. Stąd √((−3)²) = √9 = 3, a nie −3.
Dla a ≥ 0 i b ≥ 0 obowiązują wzory:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Prawo | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| Pierwiastek z iloczynu | √(a · b) = √a · √b | √2 · √8 = √16 = 4 |
| Pierwiastek z ilorazu (b > 0) | √(a/b) = √a / √b | √18 / √2 = √9 = 3 |
| Pierwiastek z potęgi | ⁿ√(a^m) = a^(m/n) | √(5⁴) = 5² = 25 |
Pierwiastka z sumy nie rozbija się: √(9 + 16) = √25 = 5, ale √9 + √16 = 7.
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Gdy liczba pod pierwiastkiem ma dzielnik będący kwadratem (4, 9, 16, 25, …), rozkładasz ją na iloczyn i korzystasz z √(a · b) = √a · √b.
- Znajdź największy kwadrat, przez który dzieli się liczba pod pierwiastkiem.
- Zapisz liczbę jako iloczyn tego kwadratu i reszty.
- Pierwiastek z kwadratu wyłącz przed znak pierwiastka.
Przykłady:
- √72 = √(36 · 2) = 6√2,
- √50 = √(25 · 2) = 5√2,
- ³√54 = ³√(27 · 2) = 3 · ³√2 (tu szukasz sześcianu: 27 = 3³).
Dzięki temu można dodawać pierwiastki podobne: √12 + √27 − √3 = 2√3 + 3√3 − √3 = 4√3.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Ułamek zwykle zapisuje się tak, by w mianowniku nie było pierwiastka. Licznik i mianownik mnoży się przez to samo wyrażenie.
Mianownik z samym pierwiastkiem. Mnożysz przez ten pierwiastek:
3/√3 = (3 · √3)/(√3 · √3) = 3√3/3 = √3
5/(2√5) = (5 · √5)/(2 · √5 · √5) = 5√5/10 = √5/2
Mianownik z pierwiastkiem sześciennym. 2/(3 · ³√4): mnożysz przez ³√2, bo ³√4 · ³√2 = ³√8 = 2. Wynik: 2 · ³√2 / (3 · 2) = ³√2 / 3.
Mianownik z sumą lub różnicą. Mnożysz przez wyrażenie sprzężone (ze zmienionym znakiem) i korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia (a − b)(a + b) = a² − b²:
1/(√5 − √2) = (√5 + √2) / ((√5 − √2)(√5 + √2)) = (√5 + √2) / (5 − 2) = (√5 + √2)/3
1/(2 + √3) = (2 − √3) / (4 − 3) = 2 − √3
Wartości przykładów sprawdzono liczbowo w Pythonie: np. 1/(√5 − √2) ≈ 1,21676 i (√5 + √2)/3 ≈ 1,21676.
Typowe błędy
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Błąd | Poprawnie |
|---|---|
| √(a + b) = √a + √b | tak rozbijać można tylko iloczyn i iloraz |
| (a + b)² = a² + b² | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| a^r · a^s = a^(r·s) | wykładniki dodajesz: a^(r+s) |
| (a^r)^s = a^(r+s) | wykładniki mnożysz: a^(r·s) |
| −3² = 9 | −3² = −9, a (−3)² = 9 |
| √(a²) = a | √(a²) = |a| |
| a^(−n) = −aⁿ | a^(−n) = 1/aⁿ |
Zobacz też: Logarytmy, Ułamki zwykłe.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Ile wynosi liczba do potęgi zerowej?
Dla a ≠ 0 przyjmuje się a⁰ = 1, np. 5⁰ = 1.
Co oznacza wykładnik ujemny?
Odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim: a^(−n) = 1/aⁿ. Na przykład 2^(−3) = 1/8.
Jak zamienić pierwiastek na potęgę?
Pierwiastek stopnia n z liczby a > 0 to potęga o wykładniku 1/n: ⁿ√a = a^(1/n). Gdy pod pierwiastkiem jest a^m, wykładnik wynosi m/n.
Czy można wyciągnąć pierwiastek z liczby ujemnej?
Pierwiastek stopnia parzystego, np. √(−4), nie istnieje w liczbach rzeczywistych. Pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje: ³√(−8) = −2.
Dlaczego √(a²) to |a|, a nie a?
Pierwiastek arytmetyczny jest z definicji nieujemny. Dla a = −3 mamy √9 = 3 = |−3|.
Jak usunąć niewymierność z mianownika?
Pomnóż licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika (gdy jest tam sam pierwiastek) albo przez wyrażenie sprzężone (gdy jest tam suma lub różnica z pierwiastkiem).