Co oznaczają NWD i NWW
NWD to największy wspólny dzielnik, czyli największa liczba naturalna, która dzieli każdą z podanych liczb bez reszty. NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością każdej z podanych liczb.
Przykład na małych liczbach: dla 12 i 18 dzielniki wspólne to 1, 2, 3 i 6, więc NWD(12, 18) = 6. Wielokrotności 12 to 12, 24, 36, 48, a wielokrotności 18 to 18, 36, 54, więc pierwsza wspólna to 36 i NWW(12, 18) = 36.
Liczby, których NWD wynosi 1, nazywamy względnie pierwszymi (np. 9 i 28). Same nie muszą być pierwsze (9 = 3 · 3, 28 = 4 · 7): wspólnym dzielnikiem jest tylko 1.
Metoda 1: rozkład na czynniki pierwsze
Ta metoda działa dla dwóch, trzech i więcej liczb. Do rozkładu potrzebna jest znajomość liczb pierwszych (liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie).
- Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze i zapisz w postaci potęg.
- NWD: z czynników występujących w rozkładach wszystkich liczb weź każdy z najmniejszym wykładnikiem i pomnóż.
- NWW: weź wszystkie czynniki, które pojawiają się w którymkolwiek rozkładzie, każdy z największym wykładnikiem, i pomnóż.
Przykład: NWD i NWW liczb 84 i 126
Rozkłady: 84 = 2² · 3 · 7 oraz 126 = 2 · 3² · 7.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Czynnik | W 84 | W 126 | Do NWD (mniejszy wykładnik) | Do NWW (większy wykładnik) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2¹ | 2¹ | 2² |
| 3 | 3¹ | 3² | 3¹ | 3² |
| 7 | 7¹ | 7¹ | 7¹ | 7¹ |
NWD(84, 126) = 2 · 3 · 7 = 42, a NWW(84, 126) = 2² · 3² · 7 = 252.
Przykład z czynnikiem występującym tylko raz
Dla 48 = 2⁴ · 3 i 180 = 2² · 3² · 5 czynnik 5 nie występuje w rozkładzie 48, więc nie trafia do NWD (jego wykładnik w 48 to 0), ale trafia do NWW. Wychodzi NWD(48, 180) = 2² · 3 = 12 oraz NWW(48, 180) = 2⁴ · 3² · 5 = 720.
Trzy liczby
Dla 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² i 30 = 2 · 3 · 5 wspólne dla wszystkich trzech są czynniki 2 i 3, oba w pierwszej potędze, więc NWD(12, 18, 30) = 6. NWW bierze 2², 3² i 5, czyli NWW(12, 18, 30) = 4 · 9 · 5 = 180.
Wzór NWW · NWD = a · b
Dla dwóch liczb naturalnych zachodzi równość:
NWD(a, b) · NWW(a, b) = a · b
Stąd NWW(a, b) = a · b : NWD(a, b). Sprawdzenie na przykładzie: 42 · 252 = 10 584 oraz 84 · 126 = 10 584. Dla 48 i 180 jest 12 · 720 = 8640 oraz 48 · 180 = 8640.
Ten wzór dotyczy wyłącznie dwóch liczb. Dla trzech liczb nie działa: iloczyn 12 · 18 · 30 = 6480, a NWD · NWW = 6 · 180 = 1080.
Metoda 2: dzielenie z resztą
Gdy liczby są duże i trudno je rozłożyć, NWD można znaleźć przez kolejne dzielenia z resztą. Dzielisz większą liczbę przez mniejszą, potem mniejszą przez resztę, i tak dalej, aż reszta wyniesie 0. Ostatni niezerowy dzielnik jest NWD. Dla 84 i 126:
- 126 = 1 · 84 + 42,
- 84 = 2 · 42 + 0.
Ostatnia niezerowa reszta to 42, więc NWD(84, 126) = 42, zgodnie z wynikiem z rozkładu. NWW dostajesz potem ze wzoru: 84 · 126 : 42 = 252. W informatyce ta procedura nosi nazwę algorytmu Euklidesa i ma własne zastosowania w programowaniu.
Porównanie metod
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Cecha | Rozkład na czynniki | Dzielenie z resztą |
|---|---|---|
| Co wyznacza bezpośrednio | NWD i NWW | NWD (NWW ze wzoru) |
| Liczba liczb | dowolna | dwie naraz, kolejne po kolei |
| Kiedy wygodna | małe i średnie liczby | duże liczby |
| Główne ryzyko | pomyłka w rozkładzie | pomyłka w rachunku reszt |
Zastosowania
Skracanie ułamków
Aby skrócić ułamek do postaci nieskracalnej, podziel licznik i mianownik przez ich NWD. Dla ułamka 84/126 NWD wynosi 42, więc 84/126 = 2/3.
Wspólny mianownik
Najwygodniejszy wspólny mianownik ułamków to NWW ich mianowników. Dla 5/12 + 7/18 przyjmujesz NWW(12, 18) = 36:
5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = 29/36.
Zadanie tekstowe z NWW
Ania ćwiczy co 12 dni, Bartek co 18 dni, a dziś ćwiczą razem. Za ile dni znów spotkają się na ćwiczeniach? Szukasz najmniejszej liczby podzielnej przez 12 i 18, czyli NWW(12, 18) = 36. Spotkają się za 36 dni.
Zadanie tekstowe z NWD
Prostokątną płytę o wymiarach 120 cm na 90 cm trzeba pociąć na jednakowe kwadraty bez odpadów. Jaki największy możliwy bok ma kwadrat? Bok musi dzielić 120 i 90, więc szukasz NWD(120, 90) = 30. Największy kwadrat ma bok 30 cm, a płyta rozpada się na 4 · 3 = 12 kwadratów.
Wskazówka do rozpoznawania zadań: gdy pytanie dotyczy „największej możliwej” części, grupy lub boku, który coś dzieli, liczysz NWD. Gdy chodzi o „najmniejszy” termin lub moment, w którym zdarzenia się pokryją, liczysz NWW.
Najczęstsze błędy
- Branie do NWD największych wykładników zamiast najmniejszych (i odwrotnie w NWW).
- Pominięcie czynnika, który występuje tylko w jednej liczbie: do NWD nie wchodzi, do NWW wchodzi.
- Stosowanie wzoru NWW · NWD = a · b do trzech liczb.
- Mylenie wielokrotności z dzielnikami: NWW nie jest mniejsza od żadnej z liczb, NWD nie jest od żadnej większa.
Zobacz też: Ułamki zwykłe, Sito Eratostenesa.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jak obliczyć NWD dwóch liczb?
Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze, wybierz czynniki wspólne w najmniejszych potęgach i pomnóż je. Dla dużych liczb możesz zamiast tego dzielić z resztą aż do reszty 0.
Jak obliczyć NWW dwóch liczb?
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze i pomnóż wszystkie czynniki w ich największych potęgach albo policz NWD i skorzystaj ze wzoru NWW = a · b : NWD.
Ile wynosi NWD, gdy jedna liczba dzieli drugą?
NWD jest wtedy mniejszą z liczb, a NWW większą. Dla 6 i 24 jest NWD = 6 i NWW = 24.
Co jeśli NWD wynosi 1?
Liczby są wtedy względnie pierwsze, a ich NWW to po prostu iloczyn. Dla 9 i 28 jest NWW = 252.
Czy NWW może być równe jednej z liczb?
Tak, gdy większa liczba jest wielokrotnością mniejszej. Wtedy NWW równa się większej z nich.