Logarytmy: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Jak korzystać ze zbioru

Najpierw rozwiąż zadanie samodzielnie, a dopiero potem czytaj rozwiązanie. Zadania są autorskie, a wszystkie wyniki sprawdzono osobno obliczeniowo. Oznaczenia poziomów (podstawowy, rozszerzony) są orientacyjne i oddają typową trudność, a nie przydział do konkretnego arkusza. Podstawa programowa dla liceum i technikum wymienia w zakresie podstawowym związek logarytmowania z potęgowaniem oraz wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi (także w zastosowaniach, np. do lokat), a dopiero zakres rozszerzony dodaje wzór na zamianę podstawy. Równań i nierówności logarytmicznych podstawa nie wymienia osobnym punktem: najprostsze równanie (zadanie 3) mieści się w „związku logarytmowania z potęgowaniem”, a zadania 6–8 są poszerzeniem i ich poziom to ocena autora.

Krótkie przypomnienie

Logarytm log_a c to wykładnik, do którego podnosisz podstawę a, aby dostać c, czyli log_a c = b oznacza a^b = c. Podstawa musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana dodatnia. Z definicji wynika, że a^(log_a c) = c oraz log_a (a^c) = c.

Potrzebne prawa, przy tych samych założeniach o podstawach i liczbach:

log_a (x · y) = log_a x + log_a y
log_a (x / y) = log_a x − log_a y
log_a (x^p)   = p · log_a x
log_b c       = log_a c / log_a b

Zapis log x oznacza logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10.

Poziom podstawowy

Zadanie 1. Wartości z definicji

Oblicz: a) log₂32, b) log₃81, c) log₅(1/25), d) log₉3.

Rozwiązanie. Pytasz za każdym razem: do jakiej potęgi podnieść podstawę?

• a) 2⁵ = 32, więc log₂32 = 5.
• b) 3⁴ = 81, więc log₃81 = 4.
• c) 5⁻² = 1/25, więc log₅(1/25) = −2.
• d) 9^(1/2) = 3, więc log₉3 = 1/2.

Odpowiedź: 5, 4, −2, 1/2. Wynik logarytmu może być ujemny i ułamkowy, byle liczba logarytmowana była dodatnia.

Zadanie 2. Suma logarytmów

Oblicz: log₆4 + log₆9.

Rozwiązanie. Podstawy są równe, więc sumę zwijasz do logarytmu iloczynu:

log₆4 + log₆9 = log₆(4 · 9) = log₆36 = 2,  bo 6² = 36

Odpowiedź: 2.

Zadanie 3. Najprostsze równanie

Rozwiąż równanie log₃(x − 1) = 2.

Rozwiązanie. Dziedzina: x − 1 > 0, czyli x > 1. Z definicji logarytmu:

x − 1 = 3² = 9,  stąd x = 10

Sprawdzenie: 10 > 1, a log₃(10 − 1) = log₃9 = 2.

Odpowiedź: x = 10.

Zadanie 4. Porównywanie liczb

Porównaj: a) log₂9 i 3, b) 2·log₃5 i log₃24.

Rozwiązanie.

• a) Liczbę 3 zapisujesz jako log₂8, bo 2³ = 8. Funkcja logarytmiczna o podstawie 2 jest rosnąca, a 9 > 8, więc log₂9 > log₂8 = 3.
• b) Z prawa potęgi: 2·log₃5 = log₃(5²) = log₃25. Podstawa 3 > 1, funkcja rośnie, a 25 > 24, więc log₃25 > log₃24.

Odpowiedź: a) log₂9 > 3, b) 2·log₃5 > log₃24. Metoda: sprowadź obie strony do logarytmu o tej samej podstawie i porównaj liczby logarytmowane.

Zadanie 5. Lokata: po ilu latach kapitał się podwoi?

Kapitał rośnie o 5% rocznie (kapitalizacja raz w roku, bez podatków i opłat). Po ilu pełnych latach będzie co najmniej dwa razy większy?

Rozwiązanie. Po n latach kapitał wynosi K · 1,05ⁿ. Szukasz najmniejszego n spełniającego 1,05ⁿ ≥ 2. Logarytmujesz obie strony (np. logarytmem dziesiętnym, funkcja jest rosnąca):

n · log 1,05 ≥ log 2
n ≥ log 2 / log 1,05 ≈ 14,21

Sprawdzenie bezpośrednie: 1,05¹⁴ ≈ 1,98 (za mało), 1,05¹⁵ ≈ 2,08 (wystarczy).

Odpowiedź: po 15 latach. Wynik 14,21 zaokrąglasz w górę, bo pytanie dotyczy pełnych lat.

Poziom rozszerzony

Zadanie 6. Równanie z sumą logarytmów

Rozwiąż równanie log₂x + log₂(x − 2) = 3.

Rozwiązanie. Dziedzina: x > 0 i x − 2 > 0, czyli x > 2. Zwijasz sumę:

log₂[x(x − 2)] = 3
x(x − 2) = 2³ = 8
x² − 2x − 8 = 0      (Δ = 4 + 32 = 36)
x = (2 − 6)/2 = −2   lub   x = (2 + 6)/2 = 4

Wartość −2 nie należy do dziedziny (x > 2), więc odpada. Sprawdzenie dla 4: log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3.

Odpowiedź: x = 4. Pominięcie dziedziny to najczęstszy błąd w tym typie zadań.

Zadanie 7. Równanie kwadratowe względem logarytmu

Rozwiąż równanie (log₃x)² − 3·log₃x + 2 = 0.

Rozwiązanie. Dziedzina: x > 0. Podstawiasz t = log₃x:

t² − 3t + 2 = 0  →  (t − 1)(t − 2) = 0  →  t = 1 lub t = 2

Wracasz do x: log₃x = 1 daje x = 3, a log₃x = 2 daje x = 9. Oba należą do dziedziny.

Odpowiedź: x = 3 lub x = 9.

Zadanie 8. Nierówność z podstawą mniejszą od 1

Rozwiąż nierówność log_(1/2)(x − 1) > 2.

Rozwiązanie. Dziedzina: x − 1 > 0, czyli x > 1. Liczbę 2 zapisujesz jako logarytm o tej samej podstawie: 2 = log_(1/2)(1/4), bo (1/2)² = 1/4. Funkcja logarytmiczna o podstawie z przedziału (0, 1) jest malejąca, więc przy opuszczaniu logarytmów znak nierówności się odwraca:

x − 1 < 1/4  →  x < 5/4

Część wspólna z dziedziną: 1 < x < 5/4. Kontrola: dla x = 1,1 mamy log_(1/2)(0,1) ≈ 3,32 > 2, a dla x = 1,5 mamy log_(1/2)(0,5) = 1, czyli nierówność nie zachodzi.

Odpowiedź: x ∈ (1; 5/4).

Zadanie 9. Potęga z logarytmem w wykładniku

Oblicz 4^(log₂5 − 1).

Rozwiązanie. Najpierw sprowadzasz podstawę do 2 i rozdzielasz wykładnik:

4^(log₂5 − 1) = 4^(log₂5) / 4
4^(log₂5) = (2²)^(log₂5) = (2^(log₂5))² = 5² = 25
wynik: 25 / 4 = 6,25

Odpowiedź: 25/4. Korzystasz tu z równości a^(log_a c) = c.

Zadanie 10. Wyrażanie logarytmu przez dany logarytm

Niech a = log₂3. Wyraź log₆18 za pomocą a.

Rozwiązanie. Zmieniasz podstawę na 2, bo tylko log₂3 jest dany:

log₆18 = log₂18 / log₂6
log₂18 = log₂(2 · 3²) = 1 + 2a
log₂6  = log₂(2 · 3)  = 1 + a
log₆18 = (1 + 2a) / (1 + a)

Kontrola liczbowa: a ≈ 1,585, więc (1 + 3,170) / (1 + 1,585) ≈ 1,613, a bezpośrednio log₆18 ≈ 1,613.

Odpowiedź: log₆18 = (1 + 2a) / (1 + a).

Schemat rozwiązywania i typowe błędy