Cztery podstawowe wzory na logarytmy
W zapisach poniżej a jest podstawą logarytmu (a > 0 i a ≠ 1), a x i y są liczbami logarytmowanymi (x > 0, y > 0). Kolumna z przykładem pokazuje, że wynik z wzoru zgadza się z obliczeniem „wprost”.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Prawo | Wzór | Przykład liczbowy |
|---|---|---|
| Logarytm iloczynu | log_a (x · y) = log_a x + log_a y | log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5, a log₂(8 · 4) = log₂32 = 5 |
| Logarytm ilorazu | log_a (x / y) = log_a x − log_a y | log₃81 − log₃9 = 4 − 2 = 2, a log₃(81 / 9) = log₃9 = 2 |
| Logarytm potęgi | log_a (x^p) = p · log_a x | log₂(4⁵) = 5 · log₂4 = 5 · 2 = 10, bo 4⁵ = 1024 = 2¹⁰ |
| Zmiana podstawy | log_b c = log_a c / log_a b | log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3 / 2 = 1,5 |
W zmianie podstawy obie podstawy (a oraz b) muszą być dodatnie i różne od 1, a liczba c dodatnia. Wzór na potęgę działa dla dowolnego wykładnika rzeczywistego p.
Logarytm iloczynu
Zamiast logarytmować iloczyn, możesz zalogarytmować każdy czynnik osobno i dodać wyniki. Wzór czyta się też w drugą stronę: sumę logarytmów o tej samej podstawie zwijasz do jednego logarytmu iloczynu.
Przykład. Oblicz log₆12 + log₆3.
- Podstawa jest ta sama, więc łączysz logarytmy: log₆(12 · 3) = log₆36.
- Skoro 6² = 36, to log₆36 = 2.
Wynik: 2.
Logarytm ilorazu
Logarytm ilorazu to różnica logarytmów, w kolejności: licznik minus mianownik.
Przykład. Oblicz log₅250 − log₅2.
- Zwijasz różnicę: log₅(250 / 2) = log₅125.
- Skoro 5³ = 125, to wynik wynosi 3.
Jednym ze skutków wzoru jest równość log_a (1 / y) = −log_a y, bo log_a 1 = 0. Na przykład log₂(1/8) = −3.
Logarytm potęgi (i pierwiastka)
Wykładnik z liczby logarytmowanej „zjeżdża” przed logarytm. Ponieważ pierwiastek to potęga o wykładniku ułamkowym, ten sam wzór daje log_a (ⁿ√x) = (1/n) · log_a x.
Przykład. Oblicz log₂√8.
- Zapisujesz pierwiastek jako potęgę: √8 = 8^(1/2).
- Wykładnik wychodzi przed logarytm: (1/2) · log₂8 = (1/2) · 3 = 1,5.
Wynik: 1,5.
Zmiana podstawy logarytmu
Wzór na zmianę podstawy przydaje się w dwóch sytuacjach: gdy w wyrażeniu są logarytmy o różnych podstawach i chcesz je zapisać przy jednej oraz gdy kalkulator ma tylko logarytm dziesiętny i naturalny.
Przykład 1: sprowadzenie do wspólnej podstawy. Oblicz log₈32.
- Wybierasz podstawę 2 (jest wspólna dla 8 i 32): log₈32 = log₂32 / log₂8.
- Podstawiasz wartości: 5 / 3.
Wynik: 5/3 ≈ 1,667.
Przykład 2: kalkulator. Chcesz policzyć log₂5, a kalkulator ma tylko przycisk log (podstawa 10). Wtedy log₂5 = log 5 / log 2 ≈ 0,699 / 0,301 ≈ 2,32.
Dwa wnioski szczególne, które często się przydają:
- log_b c = 1 / log_c b, np. log₈2 = 1/3, bo log₂8 = 3;
- log_(a^k) c = (1/k) · log_a c, np. log₂₅625 = (1/2) · log₅625 = (1/2) · 4 = 2.
Wartości, które wynikają wprost z definicji
Obok czterech praw warto pamiętać o wartościach, które pojawiają się w obliczeniach niemal za każdym razem:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Zapis | Wartość | Uzasadnienie |
|---|---|---|
| log_a 1 | 0 | a⁰ = 1 |
| log_a a | 1 | a¹ = a |
| log_a (a^k) | k | definicja logarytmu |
| a^(log_a c) | c | definicja logarytmu (c > 0) |
Najczęstsze błędy
Większość pomyłek wynika z „wymyślania” wzorów, które wyglądają podobnie do prawdziwych. Każdą z poniższych równości możesz obalić jednym liczbowym przykładem.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Błędny zapis | Dlaczego jest zły | Kontrprzykład |
|---|---|---|
| log_a (x + y) = log_a x + log_a y | wzór dotyczy iloczynu, nie sumy | log₂(4 + 4) = log₂8 = 3, ale log₂4 + log₂4 = 4 |
| log_a x / log_a y = log_a (x / y) | iloraz logarytmów to nie logarytm ilorazu | log₂8 / log₂2 = 3, ale log₂(8 / 2) = 2 |
| (log_a x)^p = p · log_a x | wykładnik przy całym logarytmie to co innego niż wykładnik w liczbie logarytmowanej | (log₂8)² = 3² = 9, ale 2 · log₂8 = 6 |
| log_a (x · y) = log_a x · log_a y | iloczyn zamienia się na sumę, nie na iloczyn | log₂(4 · 8) = 5, ale log₂4 · log₂8 = 6 |
Drugi typ pułapek dotyczy założeń. Wzór log_a (x · y) = log_a x + log_a y wymaga x > 0 i y > 0. Dlatego przy równaniach i nierównościach zapisujesz najpierw dziedzinę, a dopiero potem przekształcasz. Przykład: log₂(x²) = 2 · log₂|x| dla x ≠ 0, a zapis 2 · log₂x obejmuje tylko x > 0, więc po cichu gubi część dziedziny.
Jak dobrać wzór do zadania
- Sprawdź podstawy: jeśli są różne, rozważ zmianę podstawy na wspólną.
- Zapisz dziedzinę (liczby logarytmowane dodatnie).
- Wyrażenie z sumą lub różnicą logarytmów o tej samej podstawie zwiń do jednego logarytmu albo rozwiń wyrażenie złożone na proste składniki.
- Wykładniki i pierwiastki w liczbie logarytmowanej zamień na czynniki przed logarytmem.
- Sprawdź wynik, podstawiając: czy a do potęgi równej wynikowi daje liczbę logarytmowaną?
Zobacz też: Logarytmy: zadania.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jakie są podstawowe wzory na logarytmy?
Są cztery: logarytm iloczynu (suma logarytmów), logarytm ilorazu (różnica logarytmów), logarytm potęgi (wykładnik jako czynnik) i zmiana podstawy (iloraz dwóch logarytmów o nowej podstawie). Dopełniają je wartości log_a 1 = 0 oraz log_a a = 1.
Czy log(x + y) można rozpisać?
Nie. Nie ma wzoru na logarytm sumy ani różnicy liczb logarytmowanych. Przykład: log₂(4 + 4) = 3, a log₂4 + log₂4 = 4.
Po co zmieniać podstawę logarytmu?
Żeby sprowadzić logarytmy do wspólnej podstawy i skorzystać z pozostałych praw albo żeby policzyć wartość na kalkulatorze, który ma tylko logarytm dziesiętny i naturalny.
Czy wzory działają dla liczb ujemnych?
Nie wprost. Liczby logarytmowane muszą być dodatnie, więc np. log₂(−4) nie istnieje. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, ale żaden z czynników osobno nie ma logarytmu, więc wzoru na iloczyn nie stosujesz wprost. Liczysz wtedy logarytm samego iloczynu: log₂((−2) · (−8)) = log₂16 = 4.
Jaka jest różnica między log a ln?
Zapis log bez podstawy oznacza zwykle logarytm dziesiętny (podstawa 10), a ln to logarytm naturalny o podstawie e ≈ 2,718. Wzory praw logarytmów są takie same dla obu.
Czy znajomość wzorów wystarczy do zadań z logarytmów?
Wzory to narzędzia, a zadania wymagają jeszcze wyboru właściwego przekształcenia i pilnowania dziedziny. Najlepiej ćwiczyć na własnych przykładach, które sprawdzasz podstawieniem.