Prawdopodobieństwo: definicja klasyczna, wzory i przykłady

Podstawowe pojęcia

Rachunek prawdopodobieństwa opisuje doświadczenia losowe, czyli takie, których wyniku nie da się z góry przewidzieć, np. rzut kostką, losowanie kuli z urny albo karty z talii. Kilka pojęć wystarczy, żeby czytać każde zadanie.

Definicja klasyczna i wzór

Karta wzorów CKE zapisuje to jako twierdzenie: jeśli Ω jest niepustym zbiorem skończonym, a wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe |A| podzielonemu przez |Ω|. Zapisujesz to tak:

P(A) = |A| / |Ω|

Z tego wynikają podstawowe własności, które karta wzorów również wymienia: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0 oraz P(Ω) = 1. Wynik większy od 1 albo ujemny oznacza błąd w rachunku.

Procedura rozwiązywania zadania:

1. Opisz doświadczenie i zdecyduj, co jest wynikiem elementarnym.
2. Sprawdź jednakową możliwość wyników. Jeśli tak nie jest, trzeba zmienić opis (patrz sekcja o błędach).
3. Policz |Ω|, a potem |A|. Zazwyczaj pomagają reguły mnożenia i dodawania z kombinatoryki.
4. Podziel i skróć ułamek.

Przykłady: kostka, kule i karty

Jedna kostka

Doświadczenie: rzut symetryczną kostką. Zdarzenie A: wypadła liczba parzysta. Wtedy |Ω| = 6 i |A| = 3, więc P(A) = 3/6 = 1/2.

Dwie kostki

Rzucasz dwiema rozróżnialnymi kostkami. Wynikiem jest para (a, b), a reguła mnożenia daje |Ω| = 6 · 6 = 36. Liczba par o danej sumie oczek wygląda tak:

Stąd P(suma = 7) = 6/36 = 1/6, P(suma = 12) = 1/36, a P(suma ≥ 10) = 6/36 = 1/6 (3 + 2 + 1 par).

Kule w urnie

W urnie jest 5 kul czerwonych, 3 białe i 2 zielone, razem 10. Losujesz jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że jest biała, to 3/10. Zdarzeniem przeciwnym do „kula biała” jest „kula czerwona lub zielona”, czyli 7/10, co zgadza się z 1 − 3/10.

Karty z talii

Z talii 52 kart losujesz jedną. Asów jest 4, kierów 13, a as kier jest jeden. Prawdopodobieństwa wynoszą:

• P(as) = 4/52 = 1/13,
• P(kier) = 13/52 = 1/4,
• P(as lub kier) = (4 + 13 − 1)/52 = 16/52 = 4/13.

Ostatni wynik korzysta ze wzoru P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) z karty wzorów: as kier liczy się w obu grupach, więc trzeba go odjąć raz.

Reguła mnożenia i drzewo

Wynik doświadczenia wieloetapowego liczysz regułą mnożenia: jeśli pierwszy etap można przeprowadzić na n₁ sposobów, a drugi na n₂, to razem jest n₁ · n₂ wyników. Tak powstało 36 w przykładzie z dwiema kostkami. Podstawa programowa wymienia tę umiejętność w zakresie kombinatoryki: zliczanie obiektów regułami mnożenia i dodawania.

Przy losowaniu bez zwracania wygodne jest drzewo. Na każdej gałęzi zapisujesz prawdopodobieństwo danego etapu, a prawdopodobieństwo całej ścieżki otrzymujesz, mnożąc liczby wzdłuż gałęzi. Prawdopodobieństwa kilku ścieżek prowadzących do tego samego zdarzenia dodajesz.

Przykład: z urny z 5 czerwonymi i 5 niebieskimi kulami losujesz dwie kule bez zwracania. Szukasz prawdopodobieństwa, że dokładnie jedna jest czerwona.

Zdarzenie „dokładnie jedna czerwona” zawiera ścieżki drugą i trzecią, więc P = 5/18 + 5/18 = 5/9. Sprawdzenie metodą klasyczną: |Ω| = 10 · 9 / 2 = 45 par, sprzyjających jest 5 · 5 = 25, czyli 25/45 = 5/9. Suma wszystkich czterech ścieżek wynosi 1, co jest dobrą kontrolą drzewa.

Gdyby kule losować ze zwracaniem, każdy etap miałby prawdopodobieństwo 1/2, a wynik byłby inny: P(dokładnie jedna czerwona) = 2 · 1/2 · 1/2 = 1/2. Zawsze sprawdź, czy w treści jest „bez zwracania”, czy „ze zwracaniem”.

Zdarzenia przeciwne: kiedy się opłacają

Z karty wzorów: P(A′) = 1 − P(A). Opłaca się to wtedy, gdy zdarzenie „co najmniej jeden” jest trudne do rozpisania, a jego przeciwieństwo, „żaden”, jest proste.

Przykład: rzucasz trzy razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka? Zdarzeniem przeciwnym jest „ani razu szóstka”: |Ω| = 6³ = 216, a sprzyjających wyników jest 5³ = 125. Zatem P = 1 − 125/216 = 91/216, czyli około 0,42.

Najczęstsze błędy

• Niejednakowo możliwe wyniki. Przy dwóch kostkach wyniki „suma 2” i „suma 7” nie są jednakowo prawdopodobne (1 para kontra 6 par), więc nie wolno przyjąć Ω = {2, 3, …, 12} i liczyć 1/11. Wynikiem elementarnym jest para oczek.
• Pomylenie kolejności. Przy dwóch monetach przestrzeń to OO, OR, RO, RR, a nie „dwa orły, jeden orzeł, zero orłów”. Dlatego P(dokładnie jeden orzeł) = 2/4 = 1/2, a nie 1/3.
• Mieszanie sposobu liczenia. Jeśli |Ω| liczysz z uwzględnieniem kolejności, to |A| też musisz liczyć z kolejnością.
• Ułamek spoza przedziału [0, 1]. To sygnał, że któraś liczba jest błędna.

Gdy zadanie podaje informację o wyniku pierwszego etapu i pyta o drugi, wchodzi w grę prawdopodobieństwo warunkowe. To osobny temat, który wykracza poza definicję klasyczną.

Zobacz też: Matura z matematyki, Ułamki zwykłe.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo klasyczne?

P(A) = |A| / |Ω|, gdzie |A| to liczba wyników sprzyjających, a |Ω| liczba wszystkich wyników. Wzór stosujesz, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Czy prawdopodobieństwo może być większe od 1?

Nie. Z karty wzorów wynika, że 0 ≤ P(A) ≤ 1. Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 0, a pewne 1.

Jak policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?

Odejmij od jedności: P(A′) = 1 − P(A). Jeśli prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli wynosi 3/10, to nie-białej 7/10.

Kiedy mnożę, a kiedy dodaję prawdopodobieństwa?

Mnożysz wzdłuż jednej ścieżki drzewa, czyli kolejnych etapów tego samego wyniku. Dodajesz prawdopodobieństwa różnych ścieżek, które prowadzą do zdarzenia, o które pytasz.

Czym różni się losowanie ze zwracaniem od losowania bez zwracania?

Ze zwracaniem skład urny pozostaje taki sam w każdym etapie. Bez zwracania zmieniają się liczby kul w kolejnych losowaniach, więc zmieniają się też prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa.

Czy klasyczna definicja wystarcza na maturze?

Informatory CKE wymieniają obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym wśród wymagań, ale wymagania rozszerzone obejmują też dalsze zagadnienia, np. schemat Bernoullego i wzór Bayesa. Klasyczny model to podstawa, na której opierają się pozostałe.