Definicja i wzór
Karta wzorów CKE wprowadza to pojęcie dla zdarzeń A i B zawartych w Ω, przy założeniu P(B) > 0: prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zaistnienia zdarzenia B nazywa się iloraz P(A ∩ B) przez P(B). Zapis P(A|B) czytasz: „prawdopodobieństwo A pod warunkiem B”.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Z tego samego wzoru, po pomnożeniu obu stron przez P(B), dostajesz regułę mnożenia, na której opiera się drzewko:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)
Sens wzoru jest prosty. Informacja „B zaszło” odcina wszystkie wyniki spoza B. Z tego, co zostało, liczysz, jaka część należy też do A. Dlatego w mianowniku stoi P(B), a w liczniku tylko ta część A, która leży w B.
W podstawie programowej dla liceum i technikum prawdopodobieństwo warunkowe, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa są wymienione w zakresie rozszerzonym; zakres podstawowy wymienia model klasyczny.
Interpretacja na tabeli dwukierunkowej
Najłatwiej zobaczyć to na liczbach. W grupie 50 uczniów jest 30 dziewcząt i 20 chłopców. Na koło szachowe chodzi 15 osób: 9 dziewcząt i 6 chłopców. Losujemy jedną osobę z tej grupy.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Szachy (S) | Bez szachów (S′) | Razem | |
|---|---|---|---|
| Dziewczyna (D) | 9 | 21 | 30 |
| Chłopak (C) | 6 | 14 | 20 |
| Razem | 15 | 35 | 50 |
Pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba to dziewczyna, jeśli wiadomo, że chodzi na szachy? Warunek S zawęża rozważania do kolumny „Szachy”, czyli 15 osób. Wśród nich 9 to dziewczęta:
P(D|S) = 9/15 = 3/5
Ten sam wynik daje wzór: P(D ∩ S) = 9/50, P(S) = 15/50, więc P(D|S) = (9/50) : (15/50) = 9/15 = 3/5.
Odwrotne pytanie to zupełnie inna liczba. Jeśli wiadomo, że wylosowana osoba jest dziewczyną, to szachy wybiera P(S|D) = 9/30 = 3/10. Warunek zmienia, który wiersz lub kolumnę traktujesz jako całość, więc P(A|B) i P(B|A) zwykle się różnią.
Drzewko: warunkowe prawdopodobieństwa na gałęziach
Przy doświadczeniu dwuetapowym drugi etap zależy od wyniku pierwszego. Prawdopodobieństwa na gałęziach drugiego poziomu są właśnie warunkowe.
Przykład: z talii 52 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Szukamy prawdopodobieństwa, że obie są asami.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Etap | Zdarzenie | Prawdopodobieństwo |
|---|---|---|
| 1 | pierwsza karta to as | 4/52 = 1/13 |
| 2 | druga karta to as, gdy pierwsza była asem | 3/51 = 1/17 |
| razem | obie karty to asy | 1/13 · 1/17 = 1/221 |
W drugim etapie w talii zostało 51 kart, w tym 3 asy, więc P(druga as | pierwsza as) = 3/51. Reguła mnożenia daje P(obie asy) = 4/52 · 3/51 = 1/221. Gdyby pierwsza karta nie była asem, na gałęzi drugiego etapu stałoby 4/51: warunek zmienia liczby.
Drugi przykład pokazuje, że warunek zawęża zbiór wyników. Rzucamy dwiema kostkami i wiemy, że suma oczek wynosi co najmniej 10. Takich par jest 6: (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6). Jaka jest szansa, że na pierwszej kostce wypadła szóstka? Wśród tych 6 par szóstka na pierwszej kostce występuje w 3, więc P = 3/6 = 1/2. Bez informacji o sumie ta szansa wynosiłaby 1/6.
Zdarzenia niezależne
Zdarzenia A i B są niezależne, gdy P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Wtedy z definicji P(A|B) = P(A): informacja o B nie zmienia szansy A. Na przykład wynik rzutu monetą nie zależy od wyniku poprzedniego rzutu. W losowaniu kart bez zwracania zależność jest widoczna: P(drugi as | pierwszy as) = 1/17 jest różne od P(drugi as) = 1/13, więc zdarzenia nie są niezależne.
Prawdopodobieństwo całkowite
Gdy wynik końcowy można uzyskać różnymi drogami, prawdopodobieństwa ścieżek dodajesz. W postaci wzoru dla dwóch rozłącznych zdarzeń B i B′ o dodatnich prawdopodobieństwach, które razem dają całą przestrzeń Ω, mamy:
P(A) = P(A|B) · P(B) + P(A|B′) · P(B′)
Karta wzorów CKE podaje to jako twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym dla zdarzeń B₁, B₂, …, Bₙ, które są parami rozłączne, w sumie dają Ω i mają dodatnie prawdopodobieństwa. Wtedy P(A) jest sumą iloczynów P(A|Bᵢ) · P(Bᵢ). Na drzewku oznacza to: pomnóż prawdopodobieństwa wzdłuż każdej ścieżki kończącej się w A i dodaj wyniki.
Przykład: w urnie jest 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy dwie kule bez zwracania. Prawdopodobieństwo, że druga kula jest biała:
- pierwsza biała, druga biała: 3/5 · 2/4 = 3/10,
- pierwsza czarna, druga biała: 2/5 · 3/4 = 3/10.
Razem P(druga biała) = 3/10 + 3/10 = 3/5. To tyle samo, ile wynosi szansa, że biała jest pierwsza kula, i nie jest to przypadek: bez wiedzy o pierwszym wyniku kolejność losowania nie zmienia szans.
Wzór Bayesa (poziom rozszerzony)
Wzór Bayesa pozwala odwrócić warunek: znając P(A|Bᵢ), obliczyć P(Bᵢ|A). Informator CKE do matury rozszerzonej wymienia jego stosowanie wśród wymagań, a karta wzorów podaje twierdzenie Bayesa. Dla dwóch zdarzeń B i B′ ma postać:
P(B|A) = P(A|B) · P(B) / (P(A|B) · P(B) + P(A|B′) · P(B′))
Mianownik to prawdopodobieństwo całkowite P(A), a licznik to jedna ścieżka drzewka: P(A ∩ B).
Przykład: badanie przesiewowe
Dane są założone na potrzeby przykładu i nie opisują żadnego rzeczywistego testu. Choroba występuje u 1% badanych. Test daje wynik dodatni u 90% chorych i błędnie u 5% zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba z wynikiem dodatnim naprawdę jest chora?
Oznaczmy: C to „osoba jest chora”, Z to „osoba jest zdrowa”, + to „wynik dodatni”. Wtedy P(C) = 0,01, P(Z) = 0,99, P(+|C) = 0,9, P(+|Z) = 0,05.
- Prawdopodobieństwo całkowite wyniku dodatniego: P(+) = 0,9 · 0,01 + 0,05 · 0,99 = 0,009 + 0,0495 = 0,0585.
- Wzór Bayesa: P(C|+) = 0,009 / 0,0585 = 2/13, czyli około 0,154.
Zaskakujące jest, że prawdopodobieństwo wynosi tylko około 15%, choć test wykrywa 90% chorych. Pokazuje to liczenie na grupie 10 000 osób:
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Wynik dodatni | Wynik ujemny | Razem | |
|---|---|---|---|
| Chorzy | 90 | 10 | 100 |
| Zdrowi | 495 | 9405 | 9900 |
| Razem | 585 | 9415 | 10 000 |
Wynik dodatni ma 585 osób, a chorych jest wśród nich 90. Stąd 90/585 = 2/13. Zdrowych jest tak wielu, że nawet niewielki odsetek wyników fałszywie dodatnich daje ich więcej niż prawdziwych. Ważne: P(+|C) = 0,9 oraz P(C|+) ≈ 0,154 to dwie różne liczby.
Najczęstsze błędy
- Pomylenie P(A|B) z P(B|A). To dwa różne ułamki, jak w przykładzie z szachami (3/5 kontra 3/10) i z badaniem (0,9 kontra około 0,154).
- Zły mianownik. W P(A|B) w mianowniku jest liczba wyników z B, a nie z całej przestrzeni Ω.
- Zapomniane „bez zwracania”. Przy losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwa na gałęziach drugiego etapu zmieniają się, przy losowaniu ze zwracaniem nie.
- Dodawanie zamiast mnożenia. Wzdłuż jednej ścieżki drzewka mnożysz, a ścieżki prowadzące do tego samego zdarzenia dodajesz.
- Dzielenie przez zero. Wzór ma sens tylko dla P(B) > 0.
Zobacz też: Prawdopodobieństwo, Matura z matematyki.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo warunkowe?
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), gdzie P(B) > 0. Czytasz: prawdopodobieństwo A pod warunkiem B.
Czym różni się P(A|B) od P(A ∩ B)?
P(A ∩ B) to szansa, że zajdą oba zdarzenia, liczona względem całej przestrzeni Ω. P(A|B) to szansa A wśród tych wyników, w których zaszło B. Dlatego P(A|B) jest większe lub równe P(A ∩ B).
Jak policzyć prawdopodobieństwo warunkowe z drzewka?
Prawdopodobieństwo warunkowe odczytujesz z gałęzi drugiego etapu, bo zapisano tam szansę po spełnieniu warunku z pierwszego etapu. Prawdopodobieństwo obu zdarzeń razem otrzymujesz, mnożąc liczby wzdłuż ścieżki.
Kiedy zdarzenia są niezależne?
Gdy P(A ∩ B) = P(A) · P(B), co jest równoważne P(A|B) = P(A) dla P(B) > 0. Informacja o B nie zmienia wtedy szansy A.
Czy wzór Bayesa jest na maturze podstawowej?
W informatorze CKE wzór Bayesa występuje jako wymaganie poziomu rozszerzonego. Przy poziomie podstawowym w informatorze jest mowa o modelu klasycznym.
Czy P(A|B) może być większe niż 1?
Nie. Jest to ułamek, w którym licznik P(A ∩ B) nie przekracza mianownika P(B), więc wynik leży między 0 a 1.