Definicja i różnica ciągu
W ciągu arytmetycznym każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Tę liczbę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy r. Różnicę liczysz więc jako r = aₙ₊₁ − aₙ, czyli odejmujesz od dowolnego wyrazu jego poprzednik.
Przykłady:
- 3, 7, 11, 15, … to ciąg arytmetyczny o a₁ = 3 i r = 4;
- 50, 47, 44, 41, … to ciąg arytmetyczny o a₁ = 50 i r = −3;
- 8, 8, 8, 8, … to ciąg arytmetyczny o r = 0 (ciąg stały);
- 1, 2, 4, 8, … nie jest arytmetyczny, bo różnice kolejnych wyrazów (1, 2, 4) nie są stałe.
Znak różnicy mówi o monotoniczności: jeśli r > 0, ciąg jest rosnący; jeśli r < 0, malejący; jeśli r = 0, stały.
Wzór na n-ty wyraz
Wzór na wyraz ogólny ma postać:
aₙ = a₁ + (n − 1)·r
Skąd bierze się czynnik (n − 1)? Żeby dojść od pierwszego wyrazu do n-tego, wykonujesz n − 1 kroków, a w każdym dodajesz r. Drugi wyraz to a₁ + r, trzeci a₁ + 2r, dziesiąty a₁ + 9r.
Przykład 1. Dla ciągu 3, 7, 11, … wyraz dziesiąty wynosi a₁₀ = 3 + 9·4 = 39.
Przykład 2. Który wyraz jest równy 83? Ustawiasz równanie 3 + (n − 1)·4 = 83, stąd (n − 1)·4 = 80, więc n − 1 = 20 i n = 21. Liczba 83 jest dwudziestym pierwszym wyrazem ciągu.
Przykład 3. Czy 100 jest wyrazem tego ciągu? Z równania 3 + (n − 1)·4 = 100 wychodzi n − 1 = 24,25. Numer wyrazu musi być liczbą naturalną dodatnią, więc 100 nie jest wyrazem tego ciągu.
Ciąg z dwóch wyrazów: jak znaleźć a₁ i r
Typowe zadanie podaje dwa wyrazy, nie pierwszy i różnicę. Wtedy zapisujesz oba wyrazy wzorem ogólnym i tworzysz układ równań.
Przykład 4. W ciągu arytmetycznym a₃ = 11 i a₈ = 31. Oblicz a₁, r oraz a₂₀.
- a₃ = a₁ + 2r = 11 oraz a₈ = a₁ + 7r = 31.
- Odejmujesz równania stronami: 5r = 20, więc r = 4.
- Z pierwszego równania a₁ = 11 − 2·4 = 3.
- a₂₀ = 3 + 19·4 = 79.
Skrót: różnica między wyrazami o numerach p i q wynosi (q − p)·r. Tu a₈ − a₃ = 5r = 20.
Własność trzech kolejnych wyrazów
W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (poza pierwszym) jest średnią arytmetyczną sąsiednich:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2
Własność działa w obie strony. Dzięki niej sprawdzasz, czy dany ciąg jest arytmetyczny, albo wyznaczasz niewiadomą w środku.
Przykład 5. Liczby 3, x + 2, 15 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wtedy 2·(x + 2) = 3 + 15 = 18, więc x + 2 = 9 i x = 7. Różnica wynosi 6, a ciąg to 3, 9, 15.
Przykład 6. Czy ciąg o wyrazie ogólnym aₙ = 5n + 2 jest arytmetyczny? Obliczasz różnicę dwóch kolejnych wyrazów: aₙ₊₁ − aₙ = 5(n + 1) + 2 − (5n + 2) = 5. Wynik nie zależy od n, więc ciąg jest arytmetyczny o r = 5 (7, 12, 17, 22, …). Dla ciągu aₙ = n² różnice wynoszą 3, 5, 7, … i nie są stałe, więc to nie jest ciąg arytmetyczny.
Suma n początkowych wyrazów
Suma n początkowych wyrazów jest równa średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i ostatniego, pomnożonej przez liczbę wyrazów:
Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n
Po podstawieniu wzoru na aₙ dostajesz drugą postać:
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)·r)/2 · n
Pierwszej postaci używasz, gdy znasz ostatni wyraz, drugiej, gdy znasz tylko a₁, r i n.
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Dane | Wzór, który wybierasz |
|---|---|
| a₁, aₙ, n | Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n |
| a₁, r, n | Sₙ = (2a₁ + (n − 1)·r)/2 · n |
| a₁, r, ostatni wyraz (bez n) | najpierw n z równania aₙ = a₁ + (n − 1)·r, potem pierwszy wzór |
Przykład 7. Dla ciągu 3, 7, 11, … suma dwudziestu początkowych wyrazów wynosi S₂₀ = (3 + 79)/2 · 20 = 41 · 20 = 820. Sprawdzenie drugim wzorem: (2·3 + 19·4)/2 · 20 = 82/2 · 20 = 820.
Przykład 8. Suma po wielu miesiącach. Odkładasz w pierwszym miesiącu 100 zł i w każdym następnym o 25 zł więcej niż w poprzednim. Kwoty tworzą ciąg arytmetyczny o a₁ = 100 i r = 25. W dwunastym miesiącu odłożysz a₁₂ = 100 + 11·25 = 375 zł, a w ciągu roku razem S₁₂ = (100 + 375)/2 · 12 = 2850 zł.
Metoda Gaussa: skąd wzór na sumę
Wzór na sumę wynika z dodawania wyrazów w pary: pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim i tak dalej. Każda taka para ma tę samą sumę, bo gdy z jednej strony przesuwasz się o jeden wyraz dalej (o r więcej), z drugiej strony cofasz się o jeden wyraz (o r mniej).
Z tą metodą wiąże się popularna anegdota o młodym Gaussie, który miał szybko zsumować liczby od 1 do 100. Szczegółów tej opowieści nie da się tu potwierdzić, więc traktuj ją jako ciekawostkę, a nie fakt.
Przykład 9. Suma 1 + 2 + … + 100: pary (1 + 100), (2 + 99), …, (50 + 51) dają po 101, a par jest 50, więc suma wynosi 50 · 101 = 5050. Ze wzoru: S₁₀₀ = (1 + 100)/2 · 100 = 5050.
Przykład 10. Liczby podzielne przez 7 mniejsze od 1000. Są to 7, 14, …, 994. Z równania 7 + (n − 1)·7 = 994 wychodzi n = 142. Suma: (7 + 994)/2 · 142 = 71 071.
Najczęstsze błędy
Przesuń tabelę, aby zobaczyć wszystkie kolumny →
| Błąd | Jak go uniknąć |
|---|---|
| Wzór z n zamiast n − 1: aₙ = a₁ + n·r | Sprawdź na a₁: dla n = 1 wzór musi dać a₁. |
| Pomyłka znaku r w ciągu malejącym | Zawsze licz r = aₙ₊₁ − aₙ, czyli następny minus poprzedni. |
| Numer wyrazu niecałkowity lub ujemny | Po rozwiązaniu równania sprawdź, czy n jest liczbą naturalną dodatnią. |
| Zły wzór na sumę: dzielenie przez 2 pominięte | Sprawdź na małym n, np. dla n = 2 suma to a₁ + a₂. |
| Wnioskowanie z dwóch lub trzech wyrazów, że ciąg jest arytmetyczny | Pokaż, że różnica aₙ₊₁ − aₙ jest stała dla każdego n. |
Ciąg arytmetyczny na maturze
Wymagania podstawy programowej dla poziomu podstawowego obejmują sprawdzanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny, oraz wykorzystywanie własności ciągów arytmetycznych w zadaniach, także osadzonych w kontekście praktycznym. Zestaw „Wybrane wzory matematyczne” zawiera wzór na n-ty wyraz, wzory na sumę i własność sąsiednich wyrazów, więc na egzaminie dużo ważniejsze od zapamiętywania jest rozpoznanie, który wzór pasuje do danych w zadaniu.
Zobacz też: Ciąg geometryczny, Matura podstawowa.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny?
Oblicz różnice kolejnych wyrazów. Jeśli wszystkie są równe tej samej liczbie, ciąg jest arytmetyczny. Dla ciągu zadanego wzorem pokaż, że aₙ₊₁ − aₙ nie zależy od n.
Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
aₙ = a₁ + (n − 1)·r, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a r to różnica ciągu.
Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?
Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n albo, gdy nie znasz ostatniego wyrazu, Sₙ = (2a₁ + (n − 1)·r)/2 · n.
Jak znaleźć różnicę, gdy znam dwa wyrazy?
Odejmij wyrazy i podziel przez różnicę numerów: r = (aq − ap)/(q − p). Dla a₃ = 11 i a₈ = 31 wychodzi r = 20/5 = 4.
Czy różnica może być ujemna lub równa zero?
Tak. Przy r < 0 ciąg jest malejący, przy r = 0 stały. Oba przypadki są ciągami arytmetycznymi.
Czym różni się ciąg arytmetyczny od geometrycznego?
W arytmetycznym między kolejnymi wyrazami jest stała różnica (dodajesz tę samą liczbę), a w geometrycznym stały iloraz (mnożysz przez tę samą liczbę).