Ciąg geometryczny: wzór na n-ty wyraz, iloraz i suma

Definicja i iloraz ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym stosunek każdego wyrazu do poprzedniego jest stały. Ta stała to iloraz q:

q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = …

Inaczej: aₙ₊₁ = aₙ · q. Żeby ciąg był określony, wystarczą dwie liczby: pierwszy wyraz a₁ i iloraz q. Przykłady:

• 3, 6, 12, 24, 48, … ma a₁ = 3 i q = 2,
• 81, 27, 9, 3, 1, … ma a₁ = 81 i q = 1/3,
• 2, −6, 18, −54, 162, … ma a₁ = 2 i q = −3,
• 5, 5, 5, 5, … ma q = 1 (ciąg stały).

Iloraz może być ułamkiem albo liczbą ujemną. Znak ilorazu mówi o zachowaniu ciągu: przy q > 0 wszystkie wyrazy mają ten sam znak co a₁, a przy q < 0 znaki wyrazów na przemian się zmieniają.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Aby przejść od a₁ do aₙ, trzeba n − 1 razy pomnożyć przez q:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Wzór ten, razem ze wzorem na sumę, znajdziesz w karcie wzorów maturalnych CKE w dziale „Ciągi”.

Przykład 1. Dla a₁ = 3 i q = 2 piąty wyraz wynosi a₅ = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48. Zgadza się to z wypisaniem kolejnych wyrazów: 3, 6, 12, 24, 48.

Przykład 2. W ciągu geometrycznym a₂ = 6 i a₅ = 162. Wyznacz a₁ i q.

1. Wyraz a₅ powstaje z a₂ po trzykrotnym pomnożeniu przez q, czyli a₅ = a₂ · q³.
2. Stąd 162 = 6 · q³, więc q³ = 27 i q = 3.
3. Z a₂ = a₁ · q wynika a₁ = 6 / 3 = 2.

Sprawdzenie: 2, 6, 18, 54, 162. Wynik się zgadza.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny

Policz kolejne ilorazy sąsiednich wyrazów i porównaj je. Jeśli wszystkie są równe, ciąg jest geometryczny.

Przy trzech kolejnych niezerowych wyrazach a, b, c istnieje też wygodny warunek: b² = a · c. Wyraz środkowy (jeśli wszystkie trzy liczby są dodatnie) jest wtedy średnią geometryczną sąsiednich, czyli b = √(a · c). Ten warunek pojawia się w zadaniach typu „dla jakiego x liczby 4, x, 36 tworzą ciąg geometryczny”: z równania x² = 4 · 36 = 144 wychodzi x = 12 lub x = −12, bo kwadrat nie rozróżnia znaków, a ilorazy w obu przypadkach są stałe (3 albo −3).

Suma n początkowych wyrazów

Sumę Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ liczysz ze wzoru:

Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q) dla q ≠ 1, a dla q = 1 po prostu Sₙ = n · a₁.

Przykład 3. Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu 3, 6, 12, … (a₁ = 3, q = 2):

S₅ = 3 · (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 3 · (−31) / (−1) = 93.

Kontrola: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.

Wzór ma sens także dla ilorazu większego od 1 i dla ujemnego: nie trzeba zmieniać postaci, tylko uważać na znaki w liczniku i mianowniku.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Gdy |q| < 1 (iloraz między −1 a 1, bez krańców), kolejne wyrazy maleją co do wartości bezwzględnej, a sumy Sₙ zbliżają się do stałej liczby. Tę granicę nazywa się sumą wszystkich wyrazów ciągu:

S = a₁ / (1 − q)

Przykład 4. Dla ciągu 81, 27, 9, 3, 1, … mamy a₁ = 81 i q = 1/3, więc S = 81 / (1 − 1/3) = 81 / (2/3) = 121,5. Dodając kolejne wyrazy, zbliżasz się do tej liczby, ale jej nie przekraczasz. Przy |q| ≥ 1 takiej sumy nie ma, bo wyrazy nie maleją dostatecznie szybko.

Ciąg geometryczny a procent składany

Procent składany jest typowym zastosowaniem ciągu geometrycznego: po każdym okresie kapitalizacji kwota rośnie tyle samo razy. Według karty wzorów CKE kapitał końcowy po n latach wynosi Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ, gdy oprocentowanie roczne to p%, a odsetki dopisuje się po każdym roku. Kolejne kwoty tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q = 1 + p/100.

Przykład 5. Kwotę 5000 zł złożono na 3 lata przy oprocentowaniu 4% w skali roku, z roczną kapitalizacją. Iloraz to q = 1,04.

Po trzech latach kapitał wynosi 5000 · 1,04³ = 5624,32 zł. To zadanie szkolne z założeniem uproszczonym: pomija podatki, opłaty i zmiany stóp, więc nie jest wskazówką dla realnej lokaty.

Ciąg geometryczny a arytmetyczny

W ciągu arytmetycznym do wyrazu dodajesz stałą różnicę r, a w geometrycznym mnożysz przez stały iloraz q.

Najczęstsze błędy

• Pomylenie wykładnika: we wzorze na aₙ potęga to n − 1, nie n. Dla n = 1 daje to q⁰ = 1 i a₁ = a₁.
• Błąd znaku w sumie: gdy q > 1, lepiej zapisz (qⁿ − 1) / (q − 1), co jest równoważne i unika ujemnych liczb.
• Pomijanie obu rozwiązań: równanie b² = a · c ma zwykle dwa rozwiązania, więc sprawdź, czy treść zadania nie wyklucza któregoś (np. wyrazy mają być dodatnie).
• Użycie wzoru na nieskończoną sumę przy |q| ≥ 1: taka suma nie istnieje.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Czy iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny lub równy zero?

Ujemny może, wtedy znaki wyrazów na przemian się zmieniają (np. 2, −6, 18, −54). Iloraz równy zero daje ciąg, w którym wszystkie wyrazy po pierwszym są zerami, a zwykle zakłada się q ≠ 0, żeby ciąg był interesujący.

Jak obliczyć iloraz, gdy znam dwa dowolne wyrazy?

Podziel dalszy wyraz przez bliższy i wyciągnij pierwiastek o stopniu równym różnicy numerów. Dla a₂ = 6 i a₅ = 162 jest q³ = 162 / 6 = 27, więc q = 3. Przy parzystym stopniu pierwiastka mogą wyjść dwie wartości q (dodatnia i ujemna).

Jaki wzór na sumę, gdy iloraz wynosi 1?

Wtedy wszystkie wyrazy są równe a₁, więc Sₙ = n · a₁. Ogólny wzór z dzielnikiem 1 − q nie ma sensu dla q = 1, bo dzieliłbyś przez zero.

Kiedy ciąg geometryczny jest rosnący, a kiedy malejący?

Dla a₁ > 0 ciąg rośnie, gdy q > 1, i maleje, gdy 0 < q < 1. Dla a₁ < 0 jest odwrotnie. Przy q < 0 ciąg nie jest monotoniczny, bo znaki się zmieniają.

Czy 0 może być wyrazem ciągu geometrycznego?

Jeśli q ≠ 0 i a₁ ≠ 0, żaden wyraz nie jest zerem, bo iloczyn niezerowych liczb jest niezerowy. Zero w ciągu pojawia się tylko, gdy a₁ = 0 (wtedy cały ciąg jest zerowy) albo q = 0 (od drugiego wyrazu).